Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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5.4 Ûbungen zur Zug- und Druckbeanspruchung
Hier wird die rechnerische Auswertung der bisher bekannten festigkeitstechnischen Beziehungen
vorgeführt. Der Studierende wird vor allem lernen, welche Form seine Rechnungen haben
müssen und nach welchem Konzept er technische Berechnungen aufbauen sollte.
Die beiden folgenden Aufgaben sind von der gleichen Art, wie sie in dem Buch „Aufgabensammlung
Technische Mechanik“ zusammengestellt wurden.
Die Lösungsgedanken stehen links, die numerische Rechnung in der rechten Spalte.
1. Ûbung: Ein Stahldraht aus 20MnCr5 von 1 mm
Durchmesser und 2 m Länge wird durch Zugbelastung
um 4 mm verlängert.
Zu bestimmen sind
a) die Dehnung des Drahtes,
b) die vorhandene Zugspannung,
c) die Zugkraft.
d) Es soll nachgewiesen werden, dass im Rechnungsbereich
das Hooke’sche Gesetz tatsächlich
noch gilt.
Lösung:
a) Da Ursprungslänge l0 und Verlängerung Dl gegeben
sind, lässt sich die Dehnung e sofort berechnen
(als Dezimalzahl und in %).
b) Ist eine Formänderung im Spiel, hier die gegebene
Verlängerung Dl, dann ist sicher, dass das
Hooke’sche Gesetz gebraucht wird (sz ¼ eE oder
auch in der Form sz ¼ Dl E=l0Þ. Daher hat man
unter „Gegeben“ auch sofort den E-Modul aufgeschrieben.
c) Die Zugkraft F lässt sich nun über die Zug-
Hauptgleichung mit der vorher bestimmten Zugspannung
berechnen. Allerdings: Das Ergebnis
dieser Rechnung kann nur dann richtig sein, wenn
sz vorh fehlerfrei bestimmt wurde. Auch für Teilrechnungen
sollte man daher immer versuchen,
eine Gleichung für die gesuchte Größe (hier Zugkraft
F) zu entwickeln, in der rechts vom Gleichheitszeichen
nur die gegebenen Ausgangsgrößen
stehen. In diesem Sinn wäre auch die hier vorgeführte
Kontrollrechnung noch nicht exakt, weil
statt pd 2 =4 der schon berechnete Wert für den
Querschnitt A ¼ 0,785 mm 2 eingesetzt wurde.
Gegeben:
A ¼ p
4 d2 ¼ p
4 ð1mmÞ2 ¼ 0,785 mm 2
l0 ¼ 2m¼ 2 10 3 mm ; Dl ¼ 4mm
EStahl ¼ 2,1 10 5
N
mm 2
Gesucht:
a) e b) sz vorh c) F
d) Spannungsnachweis für Hooke
e ¼ Dl
¼
l0
4mm
2 103 mm ¼ 2 10 3 ¼ 0,002
e ¼ 2 10 3 100 % ¼ 2 10 1 % ¼ 0,2 %
sz vorh ¼ FN
A
F
¼ ) führt nicht weiter.
A
sz vorh ¼ eE ¼ 2 10 3 5 N
2,1 10
mm2 sz vorh ¼ 4,2 10 3 5 N
10
F ¼ sz vorh A ¼ 420 N
F ¼ 329,7 N
5 Festigkeitslehre
N
¼ 420
mm2 0,785 mm2
mm2 mm 2
Kontrolle:
sz ¼ Dl
E sz ¼
l0
F
A eingesetzt:
F Dl
¼ E ) nach F aufgelöst:
A l0
F ¼ DlEA
l0
4mm 2,1 10
F ¼
5 N
0,785 mm2
mm2 2 103 mm
F ¼ 329,7 N ðwie obenÞ