Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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Mit Hilfe des Hooke’schen Gesetzes
s ¼ eE ¼ DlE=l0 schreibt man für die Verlängerung
s l0
Dl ¼
E :
Für die Zugkraft F schreibt man mit der Zug-
Hauptgleichung F ¼ s A.
Dann ergibt sich mit Al0 ¼ Volumen V die übliche
Form für Wf.
Die Formänderungsarbeit Wf wird auch als Federarbeit
bezeichnet. Als Einheit erhält man das
Newtonmillimeter. Zur Umrechnung in J ¼ Nm
dividiert man den Betrag durch 1000
(1 mm ¼ 1/1000 m ¼10 3 m).
5.2.4 Reißlänge
Die Belastung frei hängender Seile z. B. in Förderanlagen
setzt sich aus der Nutzlast und der
Eigengewichtskraft des Seiles zusammen. Mit
zunehmender Seillänge wird man infolge der
ansteigenden Gewichtskraft FG des Seiles immer
weniger Nutzlast anhängen dürfen, bis der gefährdete
Querschnitt (Aufhängequerschnitt) nur noch
die Seilgewichtskraft FG tragen kann.
Wie das Bild zeigt, steigt die allein durch die Seilgewichtskraft
verusachte Zugspannung sz linear
mit der Länge an. Das zeigt auch die folgende Entwicklung
(siehe 5.2.2.4, Seite 280).
In der Zug-Hauptgleichung wird die Zugkraft F
durch die Gewichtskraft FG ¼ mg ersetzt. Die
Masse m des Seils ersetzt man durch das Produkt
aus Dichte r und dem Volumen V, letzteres wieder
durch das Produkt aus Querschnittsfläche A und
Seillänge l.
Nach der Gleichung sz ¼ rlgist die Zugspannung
im Seil nicht vom Seildurchmesser abhängig.
Wird in sz ¼ rlg statt der Zugspannung sz die
Zugfestigkeit Rm für den Seilwerkstoff eingesetzt,
so erhält man eine Gleichung für die so genannte
Reißlänge l r, bei der das frei hängende Seil unter
seiner Eigengewichtskraft reißt.
Kraft F Verlängerung Dl
Wf ¼
2
F Dl
Wf ¼
2
s A s l0
Wf ¼
2E
F Dl
Wf ¼
2 ¼ s2V 2E
sz ¼ FG
A
sz ¼ rAlg
¼ rlg
A
sz ¼ rlg
Formänderungsarbeit
FG ¼ mg ¼ rVg¼ rAlg
Hinweis: Die Gleichung für sz zeigt, dass die
Zugspannung gleichmäßig mit der Seillänge l
nach oben hin ansteigt.
sz ¼ rlg; sz ¼ Rm ; l ¼ l r
l r ¼ Rm
rg
Reißlänge
Wf F Dl s, E V
Nmm ¼ 10 3 J N mm
5 Festigkeitslehre
N
mm3
mm2 Rm Zugfestigkeit (Seite 375)
r Dichte
g Fallbeschleunigung