Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
Alfred Böge Technische Mechanik - PP99 Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
282 5.2.3.3 Poisson-Zahl m Für bestimmte Festigkeitsuntersuchungen ist es bequem, mit dem Verhältnis von Querdehnung eq und Dehnung e zu rechnen. Dieses Verhältnis bezeichnet man als Poisson-Zahl m. FürStahl wurde die Poisson-Zahl m ¼ 0,3 ermittelt; für Gusseisen ist m ¼ 0,25; für Gummi ist m ¼ 0,5. 5.2.3.4 Das Hooke’sche Gesetz Für viele Festigkeitsrechnungen ist es wichtig, den Zusammenhang zwischen der Spannung s und der zugehörigen Dehnung e zu erkennen. Beim Ziehen eines Gummifadens sieht man, dass mit zunehmender Spannung s auch die Dehnung e (Verlängerung Dl) ansteigt. Versuche mit Probestäben (siehe Spannungs-Dehnungs-Diagramm, Seite 375) zeigen, dass bei vielen Werkstoffen die Dehnung e mit der Spannung s im gleichen Verhältnis (proportional) wächst. Bei doppelter Spannung s zeigt sich dann auch die doppelte Dehnung e. Man kann auch sagen: Das Verhältnis von Spannung s und Dehnung e ist für jeden Werkstoff ein bestimmter, in den für die Praxis wichtigen Spannungsgrenzen gleich bleibender Wert, der Elastizitätsmodul E. Der Elastizitätsmodul (kurz: E-Modul) ist eine Werkstoffkonstante, die man selbst durch einfache Dehnversuche ermitteln kann. Im Physik-Lehrbuch ist ein solcher Versuch ausführlich beschrieben. Die Tabellen 5.8 und 5.9 (Seite 385) enthalten den E-Modul für die wichtigsten Werkstoffe. Dem Elastizitätsmodul E entspricht für Schubspannungen (Abscher- und Torsionsspannung) dem Schubmodul G (5.6.2, Seite 297). Querdehnung eq Poisson-Zahl m ¼ Längsdehnung e m ¼ eq e Spannung s Elastizitätsmodul E ¼ Dehnung e Umgestellt und für e ¼ Dl=l0 eingesetzt, ergibt sich die übliche Form: s ¼ eE ¼ Dl E l0 Hooke’sches Gesetz Hinweis: Versuche mit druckbeanspruchten Stäben zeigen die gleichen Gesetzmäßigkeiten wie bei Zugbeanspruchung: Das Hooke’sche Gesetz gilt für Zug- und Druckbeanspruchung. Statt sz und sd schreibt man daher hier nur s. Beispiele: EStahl ¼ 210 000 N N ¼ 2,1 105 mm2 N EAlCuMg ¼ 0,72 10 5 mm2 EGG26 ¼ 1,2 10 5 N mm 2 5 Festigkeitslehre s, E Dl, l0 e N mm 1 mm2 mm 2 Hinweis: Manchmal erscheint eine Aufgabe nur deshalb schwierig, weil man vergisst, dass der E-Modul schon bekannt ist (Tabelle 5.8).
5.2 Beanspruchung auf Zug 283 Nach dem Hooke’schen Gesetz s ¼ eE muss der E-Modul die Einheit der Spannung haben (N/mm 2 ), denn die Dehnung e hat die Einheit Eins. Ûber das Hooke’sche Gesetz E ¼ s=e kann man den E-Modul auch als diejenige Spannung ansehen, die bei der Dehnung e ¼ 1 auftreten würde. Allerdings muss dabei beachtet werden, dass sich Metallstäbe nicht auf das Doppelte ihrer Ursprungslänge verlängern lassen und dass das Hooke’sche Gesetz nur im elastischen Bereich gilt (Spannungs-Dehnungs-Diagramm, Seite 375). 5.2.3.5 Wärmespannung Alle Metallstäbe dehnen sich bei Erwärmung aus und ziehen sich bei Abkühlung wieder auf die Ursprungsgröße l0 zusammen. Die Verlängerung Dl (Verkürzung) des Stabes ist abhängig von der Ursprungslänge l0, von der Temperaturdifferenz DT ¼ J2 J1 vor und nach der Erwärmung (Abkühlung) und vom Längenausdehnungskoeffizienten al (siehe Physik-Lehrbuch). Wird ein Metallstab durch entsprechende Einspannungen an der Längenänderung gehindert, dann müssen Zug- oder Druckspannungen auftreten. Sie können mit Hilfe des Hooke’schen Gesetzes berechnet werden. Diese Normalspannungen heißen Wärmespannung sJ, weil die Temperatur allgemein mit dem griechischen Buchstaben Theta bezeichnet wird. Den Elastizitätsmodul E entnimmt man den Tabellen 5.8 und 5.9, Seite 385, den Längenausdehnungskoeffizienten al dem Handbuch Maschinenbau. 5.2.3.6 Formänderungsarbeit Wf Im elastischen Bereich steigt die Belastung F von Zug- und Druckstäben proportional zur Längenänderung an. Dabei verrichtet die Kraft F auf dem Weg Dl (Verlängerung) eine mechanische Arbeit, die im Werkstoff gespeichert und bei Entlastung wieder vollständig frei wird. Man sagt: Der Körper „federt“. Das Kraft-Verlängerungs-Schaubild zeigt als Kraftlinie eine ansteigende Gerade. Die darunter liegende Fläche entspricht der mechanischen Arbeit. Beispiel: Angenommen, ein Probestab verlängert sich bei der Spannung sz ¼ 1000 N=mm 2 auf das Doppelte seiner Ursprungslänge. Dann wäre seine Dehnung e ¼ Dl=l0 ¼ 1 und damit E ¼ sz e ¼ 1000 1 Dl ¼ l0 al DT N mm N ¼ 1000 2 mm 2 ¼ sz Hinweis: Für Stahl ist al St ¼ 12 10 6 1=K, das heißt, ein Stahlstab von 1 m Länge verändert sich bei Erwärmung um 1 K ¼ 1 Cum 12 10 6 m ¼ 0,012 mm. sJ ¼ eE ¼ Dl E l0 Hooke’sches Gesetz in allgemeiner Form Für die Verlängerung (Verkürzung) wird Dl ¼ l0 al DT eingesetzt: sJ ¼ l0 al DT l0 E sJ ¼ al DT E Wärmespannung Beachte: Die Wärmespannung sJ ist unabhängig von den Abmessungen des Stabs. l 0 Kraft Δl Δl W = f F Δl 2 Dl, l0 al DT F mm F Verlängerung 1 K Kraft-Verlängerung-Schaubild eines elastisch verlängerten Stabs. Beachte: Bei Zug- oder Druckfedern ohne Vorspannung ist die Arbeitsfläche ein Dreieck. K sJ, E al DT N mm 2 1 K K
- Seite 251 und 252: 4.8 Gerader zentrischer Stoß 231 L
- Seite 253 und 254: 4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotat
- Seite 255 und 256: 4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotat
- Seite 257 und 258: 4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotat
- Seite 259 und 260: 4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotat
- Seite 261 und 262: 4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotat
- Seite 263 und 264: 4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotat
- Seite 265 und 266: 4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotat
- Seite 267 und 268: 4.10 Mechanische Schwingungen 247 4
- Seite 269 und 270: 4.10 Mechanische Schwingungen 249 4
- Seite 271 und 272: 4.10 Mechanische Schwingungen 251 4
- Seite 273 und 274: 4.10 Mechanische Schwingungen 253 P
- Seite 275 und 276: 4.10 Mechanische Schwingungen 255 E
- Seite 277 und 278: 4.10 Mechanische Schwingungen 257 B
- Seite 279 und 280: 4.10 Mechanische Schwingungen 259 4
- Seite 281 und 282: 4.10 Mechanische Schwingungen 261 4
- Seite 283 und 284: Formelzeichen und Einheiten 263 P W
- Seite 285 und 286: 5.1 Grundbegriffe 265 Die Welle dar
- Seite 287 und 288: 5.1 Grundbegriffe 267 Wird vorausge
- Seite 289 und 290: 5.1 Grundbegriffe 269 5.1.5.2 Druck
- Seite 291 und 292: 5.1 Grundbegriffe 271 5.1.7 Bestimm
- Seite 293 und 294: 5.1 Grundbegriffe 273 2. Ûbung: Da
- Seite 295 und 296: 5.1 Grundbegriffe 275 4. Ûbung: Nu
- Seite 297 und 298: 5.1 Grundbegriffe 277 c) Schnittste
- Seite 299 und 300: 5.2 Beanspruchung auf Zug 279 5.2.2
- Seite 301: 5.2 Beanspruchung auf Zug 281 5.2.3
- Seite 305 und 306: 5.3 Beanspruchung auf Druck 285 Set
- Seite 307 und 308: 5.4 Ûbungen zur Zug- und Druckbean
- Seite 309 und 310: 5.5 Flächenpressung 289 Die Fläch
- Seite 311 und 312: 5.5 Flächenpressung 291 5.5.4 Flä
- Seite 313 und 314: 5.5 Flächenpressung 293 5.5.6 Ûbu
- Seite 315 und 316: 5.6 Beanspruchung auf Abscheren 295
- Seite 317 und 318: 5.6 Beanspruchung auf Abscheren 297
- Seite 319 und 320: 5.6 Beanspruchung auf Abscheren 299
- Seite 321 und 322: 5.6 Beanspruchung auf Abscheren 301
- Seite 323 und 324: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 325 und 326: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 327 und 328: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 329 und 330: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 331 und 332: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 333 und 334: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 335 und 336: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 337 und 338: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 339 und 340: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 341 und 342: 5.8 Beanspruchung auf Torsion 321 5
- Seite 343 und 344: 5.8 Beanspruchung auf Torsion 323 D
- Seite 345 und 346: 5.8 Beanspruchung auf Torsion 325 5
- Seite 347 und 348: 5.8 Beanspruchung auf Torsion 327 L
- Seite 349 und 350: 5.9 Beanspruchung auf Biegung 329 5
- Seite 351 und 352: 5.9 Beanspruchung auf Biegung 331 D
5.2 Beanspruchung auf Zug 283<br />
Nach dem Hooke’schen Gesetz s ¼ eE muss der<br />
E-Modul die Einheit der Spannung haben<br />
(N/mm 2 ), denn die Dehnung e hat die Einheit<br />
Eins. Ûber das Hooke’sche Gesetz E ¼ s=e kann<br />
man den E-Modul auch als diejenige Spannung<br />
ansehen, die bei der Dehnung e ¼ 1 auftreten würde.<br />
Allerdings muss dabei beachtet werden, dass<br />
sich Metallstäbe nicht auf das Doppelte ihrer Ursprungslänge<br />
verlängern lassen und dass das<br />
Hooke’sche Gesetz nur im elastischen Bereich gilt<br />
(Spannungs-Dehnungs-Diagramm, Seite 375).<br />
5.2.3.5 Wärmespannung<br />
Alle Metallstäbe dehnen sich bei Erwärmung aus<br />
und ziehen sich bei Abkühlung wieder auf die Ursprungsgröße<br />
l0 zusammen. Die Verlängerung Dl<br />
(Verkürzung) des Stabes ist abhängig von der Ursprungslänge<br />
l0, von der Temperaturdifferenz<br />
DT ¼ J2 J1 vor und nach der Erwärmung (Abkühlung)<br />
und vom Längenausdehnungskoeffizienten<br />
al (siehe Physik-Lehrbuch).<br />
Wird ein Metallstab durch entsprechende Einspannungen<br />
an der Längenänderung gehindert, dann<br />
müssen Zug- oder Druckspannungen auftreten. Sie<br />
können mit Hilfe des Hooke’schen Gesetzes berechnet<br />
werden. Diese Normalspannungen heißen<br />
Wärmespannung sJ, weil die Temperatur allgemein<br />
mit dem griechischen Buchstaben Theta<br />
bezeichnet wird. Den Elastizitätsmodul E entnimmt<br />
man den Tabellen 5.8 und 5.9, Seite 385, den Längenausdehnungskoeffizienten<br />
al dem Handbuch<br />
Maschinenbau.<br />
5.2.3.6 Formänderungsarbeit Wf<br />
Im elastischen Bereich steigt die Belastung F von<br />
Zug- und Druckstäben proportional zur Längenänderung<br />
an. Dabei verrichtet die Kraft F auf dem<br />
Weg Dl (Verlängerung) eine mechanische Arbeit,<br />
die im Werkstoff gespeichert und bei Entlastung<br />
wieder vollständig frei wird. Man sagt: Der Körper<br />
„federt“.<br />
Das Kraft-Verlängerungs-Schaubild zeigt als Kraftlinie<br />
eine ansteigende Gerade. Die darunter liegende<br />
Fläche entspricht der mechanischen Arbeit.<br />
Beispiel:<br />
Angenommen, ein Probestab verlängert sich<br />
bei der Spannung sz ¼ 1000 N=mm 2 auf das<br />
Doppelte seiner Ursprungslänge. Dann wäre<br />
seine Dehnung e ¼ Dl=l0 ¼ 1 und damit<br />
E ¼ sz<br />
e<br />
¼ 1000<br />
1<br />
Dl ¼ l0 al DT<br />
N<br />
mm<br />
N<br />
¼ 1000 2 mm<br />
2 ¼ sz<br />
Hinweis: Für Stahl ist al St ¼ 12 10 6 1=K,<br />
das heißt, ein Stahlstab von 1 m Länge verändert<br />
sich bei Erwärmung um 1 K ¼ 1 Cum<br />
12 10 6 m ¼ 0,012 mm.<br />
sJ ¼ eE ¼ Dl<br />
E<br />
l0<br />
Hooke’sches Gesetz<br />
in allgemeiner Form<br />
Für die Verlängerung (Verkürzung) wird<br />
Dl ¼ l0 al DT eingesetzt:<br />
sJ ¼ l0 al DT<br />
l0<br />
E<br />
sJ ¼ al DT E<br />
Wärmespannung<br />
Beachte: Die Wärmespannung sJ ist unabhängig<br />
von den Abmessungen des Stabs.<br />
l 0<br />
Kraft<br />
Δl<br />
Δl<br />
W =<br />
f<br />
F Δl<br />
2<br />
Dl, l0 al DT<br />
F<br />
mm<br />
F<br />
Verlängerung<br />
1<br />
K<br />
Kraft-Verlängerung-Schaubild eines elastisch<br />
verlängerten Stabs.<br />
Beachte: Bei Zug- oder Druckfedern<br />
ohne Vorspannung ist die Arbeitsfläche<br />
ein Dreieck.<br />
K<br />
sJ, E al DT<br />
N<br />
mm 2<br />
1<br />
K K