Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

5.2 Beanspruchung auf Zug 283
Nach dem Hooke’schen Gesetz s ¼ eE muss der
E-Modul die Einheit der Spannung haben
(N/mm 2 ), denn die Dehnung e hat die Einheit
Eins. Ûber das Hooke’sche Gesetz E ¼ s=e kann
man den E-Modul auch als diejenige Spannung
ansehen, die bei der Dehnung e ¼ 1 auftreten würde.
Allerdings muss dabei beachtet werden, dass
sich Metallstäbe nicht auf das Doppelte ihrer Ursprungslänge
verlängern lassen und dass das
Hooke’sche Gesetz nur im elastischen Bereich gilt
(Spannungs-Dehnungs-Diagramm, Seite 375).
5.2.3.5 Wärmespannung
Alle Metallstäbe dehnen sich bei Erwärmung aus
und ziehen sich bei Abkühlung wieder auf die Ursprungsgröße
l0 zusammen. Die Verlängerung Dl
(Verkürzung) des Stabes ist abhängig von der Ursprungslänge
l0, von der Temperaturdifferenz
DT ¼ J2 J1 vor und nach der Erwärmung (Abkühlung)
und vom Längenausdehnungskoeffizienten
al (siehe Physik-Lehrbuch).
Wird ein Metallstab durch entsprechende Einspannungen
an der Längenänderung gehindert, dann
müssen Zug- oder Druckspannungen auftreten. Sie
können mit Hilfe des Hooke’schen Gesetzes berechnet
werden. Diese Normalspannungen heißen
Wärmespannung sJ, weil die Temperatur allgemein
mit dem griechischen Buchstaben Theta
bezeichnet wird. Den Elastizitätsmodul E entnimmt
man den Tabellen 5.8 und 5.9, Seite 385, den Längenausdehnungskoeffizienten
al dem Handbuch
Maschinenbau.
5.2.3.6 Formänderungsarbeit Wf
Im elastischen Bereich steigt die Belastung F von
Zug- und Druckstäben proportional zur Längenänderung
an. Dabei verrichtet die Kraft F auf dem
Weg Dl (Verlängerung) eine mechanische Arbeit,
die im Werkstoff gespeichert und bei Entlastung
wieder vollständig frei wird. Man sagt: Der Körper
„federt“.
Das Kraft-Verlängerungs-Schaubild zeigt als Kraftlinie
eine ansteigende Gerade. Die darunter liegende
Fläche entspricht der mechanischen Arbeit.
Beispiel:
Angenommen, ein Probestab verlängert sich
bei der Spannung sz ¼ 1000 N=mm 2 auf das
Doppelte seiner Ursprungslänge. Dann wäre
seine Dehnung e ¼ Dl=l0 ¼ 1 und damit
E ¼ sz
e
¼ 1000
1
Dl ¼ l0 al DT
N
mm
N
¼ 1000 2 mm
2 ¼ sz
Hinweis: Für Stahl ist al St ¼ 12 10 6 1=K,
das heißt, ein Stahlstab von 1 m Länge verändert
sich bei Erwärmung um 1 K ¼ 1 Cum
12 10 6 m ¼ 0,012 mm.
sJ ¼ eE ¼ Dl
E
l0
Hooke’sches Gesetz
in allgemeiner Form
Für die Verlängerung (Verkürzung) wird
Dl ¼ l0 al DT eingesetzt:
sJ ¼ l0 al DT
l0
E
sJ ¼ al DT E
Wärmespannung
Beachte: Die Wärmespannung sJ ist unabhängig
von den Abmessungen des Stabs.
l 0
Kraft
Δl
Δl
W =
f
F Δl
2
Dl, l0 al DT
F
mm
F
Verlängerung
1
K
Kraft-Verlängerung-Schaubild eines elastisch
verlängerten Stabs.
Beachte: Bei Zug- oder Druckfedern
ohne Vorspannung ist die Arbeitsfläche
ein Dreieck.
K
sJ, E al DT
N
mm 2
1
K K