Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

282
5.2.3.3 Poisson-Zahl m
Für bestimmte Festigkeitsuntersuchungen ist es
bequem, mit dem Verhältnis von Querdehnung eq
und Dehnung e zu rechnen. Dieses Verhältnis bezeichnet
man als Poisson-Zahl m. FürStahl wurde
die Poisson-Zahl m ¼ 0,3 ermittelt; für Gusseisen
ist m ¼ 0,25; für Gummi ist m ¼ 0,5.
5.2.3.4 Das Hooke’sche Gesetz
Für viele Festigkeitsrechnungen ist es wichtig, den
Zusammenhang zwischen der Spannung s und der
zugehörigen Dehnung e zu erkennen. Beim Ziehen
eines Gummifadens sieht man, dass mit zunehmender
Spannung s auch die Dehnung e (Verlängerung
Dl) ansteigt. Versuche mit Probestäben
(siehe Spannungs-Dehnungs-Diagramm, Seite
375) zeigen, dass bei vielen Werkstoffen die Dehnung
e mit der Spannung s im gleichen Verhältnis
(proportional) wächst. Bei doppelter Spannung s
zeigt sich dann auch die doppelte Dehnung e. Man
kann auch sagen: Das Verhältnis von Spannung s
und Dehnung e ist für jeden Werkstoff ein bestimmter,
in den für die Praxis wichtigen Spannungsgrenzen
gleich bleibender Wert, der Elastizitätsmodul
E.
Der Elastizitätsmodul (kurz: E-Modul) ist eine
Werkstoffkonstante, die man selbst durch einfache
Dehnversuche ermitteln kann. Im Physik-Lehrbuch
ist ein solcher Versuch ausführlich beschrieben.
Die Tabellen 5.8 und 5.9 (Seite 385) enthalten
den E-Modul für die wichtigsten Werkstoffe.
Dem Elastizitätsmodul E entspricht für Schubspannungen
(Abscher- und Torsionsspannung) dem
Schubmodul G (5.6.2, Seite 297).
Querdehnung eq
Poisson-Zahl m ¼
Längsdehnung e
m ¼ eq
e
Spannung s
Elastizitätsmodul E ¼
Dehnung e
Umgestellt und für e ¼ Dl=l0 eingesetzt,
ergibt sich die übliche Form:
s ¼ eE ¼ Dl
E
l0
Hooke’sches Gesetz
Hinweis: Versuche mit druckbeanspruchten
Stäben zeigen die gleichen Gesetzmäßigkeiten
wie bei Zugbeanspruchung:
Das Hooke’sche Gesetz gilt für Zug- und
Druckbeanspruchung. Statt sz und sd
schreibt man daher hier nur s.
Beispiele:
EStahl ¼ 210 000 N
N
¼ 2,1 105
mm2 N
EAlCuMg ¼ 0,72 10 5
mm2 EGG26 ¼ 1,2 10 5
N
mm 2
5 Festigkeitslehre
s, E Dl, l0 e
N
mm 1
mm2 mm 2
Hinweis: Manchmal erscheint eine Aufgabe
nur deshalb schwierig, weil man vergisst,
dass der E-Modul schon bekannt ist
(Tabelle 5.8).