Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
Teilen Einbetten Melden
ePaper herunterladen

Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

Alfred Böge Technische Mechanik - PP99 Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

pp99.ch
03.06.2013 Aufrufe

280 5.2.2.4 Herabhängende Stäbe oder Seile Man denkt sich einen frei herabhängenden Stab der von unten nach oben fortschreitend durch die Schnitte x1 x1, x2 x2 usw. zerlegt ist, dann hat der jeweils höher liegende Schnitt eine größere Teilgewichtskraft FGx aufzunehmen. Das bedeutet, dass die Spannung an der Einspannstelle am größten ist. Dort liegt der gefährdete Querschnitt. Da die Belastung durch das Eigengewicht linear zunimmt, muss die Begrenzung der Spannungsverteilung eine Gerade sein. Trägt der Stab am unteren Ende noch die Last F, dann beträgt die Gesamtbelastung Fges ¼ F þ FG. Damit ist die maximale Spannung smax zu berechnen. Vielfach muss bei solchen Aufgaben die Gewichtskraft FG ¼ mg berechnet werden. Dazu ersetzt man die Gewichtskraft durch das Produkt aus dem Volumen V, der Dichte r des Stoffes und der Fallbeschleunigung g. 5.2.2.5 Ketten Zur Vereinfachung werden Ketten entgegen den tatsächlichen komplizierteren Beanspruchungsverhältnissen (Biegung) nur auf Zug berechnet. Die Sicherheit im Hinblick auf die tatsächliche größte Beanspruchung eines Kettengliedes liegt in der behördlich vorgeschriebenen zulässigen Zugspannung. Bei den Rechnungen wird häufig vergessen, dass der Schnitt x –x zwei Rundstahlquerschnitte trifft. Aufgaben Nr. 661–694 Agef ¼ Ax 5.2.3 Elastische Formänderung (Hooke’sches Gesetz) Bei Belastung verändert ein Werkstück seine Form. Man unterscheidet „elastische“ und „plastische“ Formänderung. Hier wird nur auf die elastische Formänderung eingegangen, bei der das Werkstück nach Entlastung seine ursprüngliche Form wieder annimmt. F þ FG smax ¼ Ax Ax Querschnitt an der Einspannstelle FG ¼ Vrg FG ¼ mg FG V r m g kg m N ¼ s2 m 3 kg m 3 kg m s 2 Agef ¼ 2 p 4 d2 ¼ p 2 d2 Das von Robert Hooke (engl. Physiker, 1635 –1703) gefundene Gesetz ist das Grundgesetz für jede elastische Verformung fester Körper. Im Physik-Lehrbuch 1) wird ein Versuch zum Hooke’schen Gesetz beschrieben. 1) A. Böge, J. Eichler: Physik: Grundlagen, Versuche, Aufgaben, Lösungen. Viewegþ Teubner, 2008 Agef d 5 Festigkeitslehre

5.2 Beanspruchung auf Zug 281 5.2.3.1 Verlängerung Dl und Dehnung e Jeder auf Zug beanspruchte Körper (Gummifaden, Stahldraht, Zugstab eines Fachwerkes usw.) verlängert sich um einen bestimmten Betrag Dl. Hat der Körper im ungespannten Zustand die Ursprungslänge l0, im gespannten Zustand dagegen die Länge l, so ist seine Verlängerung Dl die Differenz von Länge l bei Belastung und Ursprungslänge l0. Es wird angenommen, ein Stahlstab von beliebiger Länge l0 verlängere sich bei einer bestimmten Zugspannung um 10 mm. Dann würde sich ein doppelt so langer Stab unter sonst gleichen Voraussetzungen um 20 mm verlängern. Je nach größerer oder kleinerer Ursprungslänge l0 wird also die Verlängerung Dl trotz gleicher Spannung größer oder kleiner. Um längenunabhängige Vergleichswerte für die Werkstoffbeurteilung zu erhalten, bezieht man die Verlängerung Dl auf die Ursprungslänge l0. Dieser Quotient aus Verlängerung Dl und Ursprungslänge l0 heißt Dehnung e. In der Werkstoffprüfung gibt man die Dehnung in Prozenten an. In Festigkeitsrechnungen dagegen darf nur mit der Dezimalzahl gerechnet werden. 5.2.3.2 Querdehnung eq An einem Gummifaden erkennt man, dass er bei Belastung nicht nur länger, sondern auch dünner wird. Ebenso nimmt auch der Querschnitt eines auf Zug beanspruchten Metallstabs ab, wenn auch nicht mit bloßem Auge erkennbar. Jede Dehnung ist also mit einer Querschnittsminderung verbunden. Daher hat man entsprechend der Dehnung e die Querdehnung eq definiert, und zwar als Verhältnis von Dickenänderung Dd (entsprechend Dl) und Ursprungsdicke d0 (entsprechend l0). Als Verhältnis zweier Längen muss auch die Querdehnung eq die Einheit Eins erhalten. Dl ¼ l l0 Stab ungespannt und gespannt Verlängerung Dl Dehnung e ¼ Ursprungslänge l0 e ¼ Dl l0 l l0 ¼ l0 Beachte: Als Verhältnis zweier Längen (Verlängerung Dl und Ursprungslänge l0)ist die Dehnung e eine Verhältnisgröße mit der Einheit Eins. Beispiel: Ein Stab von 100 mm Länge verlängert sich bei einer bestimmten Belastung um 10 mm. Dann beträgt die Dehnung e ¼ Dl 10 mm ¼ ¼ 0,1 ð10 %Þ 100 mm l0 Querdehnung des Stabes Dickenänderung Dd Querdehnung eq ¼ ursprüngliche Dicke d0 eq ¼ Dd d0 ¼ d0 d d0 e Dl, l0, l 1 mm eq Dd, d0, d 1 mm

5.2 Beanspruchung auf Zug 281<br />

5.2.3.1 Verlängerung Dl und Dehnung e<br />

Jeder auf Zug beanspruchte Körper (Gummifaden,<br />

Stahldraht, Zugstab eines Fachwerkes usw.) verlängert<br />

sich um einen bestimmten Betrag Dl. Hat<br />

der Körper im ungespannten Zustand die Ursprungslänge<br />

l0, im gespannten Zustand dagegen<br />

die Länge l, so ist seine Verlängerung Dl die Differenz<br />

von Länge l bei Belastung und Ursprungslänge<br />

l0.<br />

Es wird angenommen, ein Stahlstab von beliebiger<br />

Länge l0 verlängere sich bei einer bestimmten<br />

Zugspannung um 10 mm. Dann würde sich ein<br />

doppelt so langer Stab unter sonst gleichen Voraussetzungen<br />

um 20 mm verlängern. Je nach größerer<br />

oder kleinerer Ursprungslänge l0 wird also die Verlängerung<br />

Dl trotz gleicher Spannung größer oder<br />

kleiner. Um längenunabhängige Vergleichswerte<br />

für die Werkstoffbeurteilung zu erhalten, bezieht<br />

man die Verlängerung Dl auf die Ursprungslänge<br />

l0. Dieser Quotient aus Verlängerung Dl und Ursprungslänge<br />

l0 heißt Dehnung e.<br />

In der Werkstoffprüfung gibt man die Dehnung in<br />

Prozenten an. In Festigkeitsrechnungen dagegen<br />

darf nur mit der Dezimalzahl gerechnet werden.<br />

5.2.3.2 Querdehnung eq<br />

An einem Gummifaden erkennt man, dass er bei<br />

Belastung nicht nur länger, sondern auch dünner<br />

wird. Ebenso nimmt auch der Querschnitt eines auf<br />

Zug beanspruchten Metallstabs ab, wenn auch<br />

nicht mit bloßem Auge erkennbar.<br />

Jede Dehnung ist also mit einer Querschnittsminderung<br />

verbunden. Daher hat man entsprechend<br />

der Dehnung e die Querdehnung eq definiert,<br />

und zwar als Verhältnis von Dickenänderung<br />

Dd (entsprechend Dl) und Ursprungsdicke d0 (entsprechend<br />

l0).<br />

Als Verhältnis zweier Längen muss auch die Querdehnung<br />

eq die Einheit Eins erhalten.<br />

Dl ¼ l l0<br />

Stab ungespannt und gespannt<br />

Verlängerung Dl<br />

Dehnung e ¼<br />

Ursprungslänge l0<br />

e ¼ Dl<br />

l0<br />

l l0<br />

¼<br />

l0<br />

Beachte: Als Verhältnis zweier Längen<br />

(Verlängerung Dl und Ursprungslänge l0)ist<br />

die Dehnung e eine Verhältnisgröße mit der<br />

Einheit Eins.<br />

Beispiel: Ein Stab von 100 mm Länge verlängert<br />

sich bei einer bestimmten Belastung um<br />

10 mm. Dann beträgt die Dehnung<br />

e ¼ Dl 10 mm<br />

¼ ¼ 0,1 ð10 %Þ<br />

100 mm<br />

l0<br />

Querdehnung des Stabes<br />

Dickenänderung Dd<br />

Querdehnung eq ¼<br />

ursprüngliche Dicke d0<br />

eq ¼ Dd<br />

d0<br />

¼ d0 d<br />

d0<br />

e Dl, l0, l<br />

1 mm<br />

eq Dd, d0, d<br />

1 mm

logo

Produkte

Ressourcen

Unternehmen

AGB
Datenschutzerklärung
Cookie-Richtlinien
Cookie-Einstellungen
Impressum
Change language
Made with love in Switzerland
© 2024 Yumpu.com all rights reserved

Hurra! Ihre Datei wurde hochgeladen und ist bereit für die Veröffentlichung.

Erfolgreich gespeichert!

Leider ist etwas schief gelaufen!