Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
Alfred Böge Technische Mechanik - PP99 Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
280 5.2.2.4 Herabhängende Stäbe oder Seile Man denkt sich einen frei herabhängenden Stab der von unten nach oben fortschreitend durch die Schnitte x1 x1, x2 x2 usw. zerlegt ist, dann hat der jeweils höher liegende Schnitt eine größere Teilgewichtskraft FGx aufzunehmen. Das bedeutet, dass die Spannung an der Einspannstelle am größten ist. Dort liegt der gefährdete Querschnitt. Da die Belastung durch das Eigengewicht linear zunimmt, muss die Begrenzung der Spannungsverteilung eine Gerade sein. Trägt der Stab am unteren Ende noch die Last F, dann beträgt die Gesamtbelastung Fges ¼ F þ FG. Damit ist die maximale Spannung smax zu berechnen. Vielfach muss bei solchen Aufgaben die Gewichtskraft FG ¼ mg berechnet werden. Dazu ersetzt man die Gewichtskraft durch das Produkt aus dem Volumen V, der Dichte r des Stoffes und der Fallbeschleunigung g. 5.2.2.5 Ketten Zur Vereinfachung werden Ketten entgegen den tatsächlichen komplizierteren Beanspruchungsverhältnissen (Biegung) nur auf Zug berechnet. Die Sicherheit im Hinblick auf die tatsächliche größte Beanspruchung eines Kettengliedes liegt in der behördlich vorgeschriebenen zulässigen Zugspannung. Bei den Rechnungen wird häufig vergessen, dass der Schnitt x –x zwei Rundstahlquerschnitte trifft. Aufgaben Nr. 661–694 Agef ¼ Ax 5.2.3 Elastische Formänderung (Hooke’sches Gesetz) Bei Belastung verändert ein Werkstück seine Form. Man unterscheidet „elastische“ und „plastische“ Formänderung. Hier wird nur auf die elastische Formänderung eingegangen, bei der das Werkstück nach Entlastung seine ursprüngliche Form wieder annimmt. F þ FG smax ¼ Ax Ax Querschnitt an der Einspannstelle FG ¼ Vrg FG ¼ mg FG V r m g kg m N ¼ s2 m 3 kg m 3 kg m s 2 Agef ¼ 2 p 4 d2 ¼ p 2 d2 Das von Robert Hooke (engl. Physiker, 1635 –1703) gefundene Gesetz ist das Grundgesetz für jede elastische Verformung fester Körper. Im Physik-Lehrbuch 1) wird ein Versuch zum Hooke’schen Gesetz beschrieben. 1) A. Böge, J. Eichler: Physik: Grundlagen, Versuche, Aufgaben, Lösungen. Viewegþ Teubner, 2008 Agef d 5 Festigkeitslehre
5.2 Beanspruchung auf Zug 281 5.2.3.1 Verlängerung Dl und Dehnung e Jeder auf Zug beanspruchte Körper (Gummifaden, Stahldraht, Zugstab eines Fachwerkes usw.) verlängert sich um einen bestimmten Betrag Dl. Hat der Körper im ungespannten Zustand die Ursprungslänge l0, im gespannten Zustand dagegen die Länge l, so ist seine Verlängerung Dl die Differenz von Länge l bei Belastung und Ursprungslänge l0. Es wird angenommen, ein Stahlstab von beliebiger Länge l0 verlängere sich bei einer bestimmten Zugspannung um 10 mm. Dann würde sich ein doppelt so langer Stab unter sonst gleichen Voraussetzungen um 20 mm verlängern. Je nach größerer oder kleinerer Ursprungslänge l0 wird also die Verlängerung Dl trotz gleicher Spannung größer oder kleiner. Um längenunabhängige Vergleichswerte für die Werkstoffbeurteilung zu erhalten, bezieht man die Verlängerung Dl auf die Ursprungslänge l0. Dieser Quotient aus Verlängerung Dl und Ursprungslänge l0 heißt Dehnung e. In der Werkstoffprüfung gibt man die Dehnung in Prozenten an. In Festigkeitsrechnungen dagegen darf nur mit der Dezimalzahl gerechnet werden. 5.2.3.2 Querdehnung eq An einem Gummifaden erkennt man, dass er bei Belastung nicht nur länger, sondern auch dünner wird. Ebenso nimmt auch der Querschnitt eines auf Zug beanspruchten Metallstabs ab, wenn auch nicht mit bloßem Auge erkennbar. Jede Dehnung ist also mit einer Querschnittsminderung verbunden. Daher hat man entsprechend der Dehnung e die Querdehnung eq definiert, und zwar als Verhältnis von Dickenänderung Dd (entsprechend Dl) und Ursprungsdicke d0 (entsprechend l0). Als Verhältnis zweier Längen muss auch die Querdehnung eq die Einheit Eins erhalten. Dl ¼ l l0 Stab ungespannt und gespannt Verlängerung Dl Dehnung e ¼ Ursprungslänge l0 e ¼ Dl l0 l l0 ¼ l0 Beachte: Als Verhältnis zweier Längen (Verlängerung Dl und Ursprungslänge l0)ist die Dehnung e eine Verhältnisgröße mit der Einheit Eins. Beispiel: Ein Stab von 100 mm Länge verlängert sich bei einer bestimmten Belastung um 10 mm. Dann beträgt die Dehnung e ¼ Dl 10 mm ¼ ¼ 0,1 ð10 %Þ 100 mm l0 Querdehnung des Stabes Dickenänderung Dd Querdehnung eq ¼ ursprüngliche Dicke d0 eq ¼ Dd d0 ¼ d0 d d0 e Dl, l0, l 1 mm eq Dd, d0, d 1 mm
- Seite 249 und 250: 4.8 Gerader zentrischer Stoß 229 B
- Seite 251 und 252: 4.8 Gerader zentrischer Stoß 231 L
- Seite 253 und 254: 4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotat
- Seite 255 und 256: 4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotat
- Seite 257 und 258: 4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotat
- Seite 259 und 260: 4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotat
- Seite 261 und 262: 4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotat
- Seite 263 und 264: 4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotat
- Seite 265 und 266: 4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotat
- Seite 267 und 268: 4.10 Mechanische Schwingungen 247 4
- Seite 269 und 270: 4.10 Mechanische Schwingungen 249 4
- Seite 271 und 272: 4.10 Mechanische Schwingungen 251 4
- Seite 273 und 274: 4.10 Mechanische Schwingungen 253 P
- Seite 275 und 276: 4.10 Mechanische Schwingungen 255 E
- Seite 277 und 278: 4.10 Mechanische Schwingungen 257 B
- Seite 279 und 280: 4.10 Mechanische Schwingungen 259 4
- Seite 281 und 282: 4.10 Mechanische Schwingungen 261 4
- Seite 283 und 284: Formelzeichen und Einheiten 263 P W
- Seite 285 und 286: 5.1 Grundbegriffe 265 Die Welle dar
- Seite 287 und 288: 5.1 Grundbegriffe 267 Wird vorausge
- Seite 289 und 290: 5.1 Grundbegriffe 269 5.1.5.2 Druck
- Seite 291 und 292: 5.1 Grundbegriffe 271 5.1.7 Bestimm
- Seite 293 und 294: 5.1 Grundbegriffe 273 2. Ûbung: Da
- Seite 295 und 296: 5.1 Grundbegriffe 275 4. Ûbung: Nu
- Seite 297 und 298: 5.1 Grundbegriffe 277 c) Schnittste
- Seite 299: 5.2 Beanspruchung auf Zug 279 5.2.2
- Seite 303 und 304: 5.2 Beanspruchung auf Zug 283 Nach
- Seite 305 und 306: 5.3 Beanspruchung auf Druck 285 Set
- Seite 307 und 308: 5.4 Ûbungen zur Zug- und Druckbean
- Seite 309 und 310: 5.5 Flächenpressung 289 Die Fläch
- Seite 311 und 312: 5.5 Flächenpressung 291 5.5.4 Flä
- Seite 313 und 314: 5.5 Flächenpressung 293 5.5.6 Ûbu
- Seite 315 und 316: 5.6 Beanspruchung auf Abscheren 295
- Seite 317 und 318: 5.6 Beanspruchung auf Abscheren 297
- Seite 319 und 320: 5.6 Beanspruchung auf Abscheren 299
- Seite 321 und 322: 5.6 Beanspruchung auf Abscheren 301
- Seite 323 und 324: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 325 und 326: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 327 und 328: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 329 und 330: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 331 und 332: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 333 und 334: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 335 und 336: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 337 und 338: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 339 und 340: 5.7 Flächenmomente 2. Grades I und
- Seite 341 und 342: 5.8 Beanspruchung auf Torsion 321 5
- Seite 343 und 344: 5.8 Beanspruchung auf Torsion 323 D
- Seite 345 und 346: 5.8 Beanspruchung auf Torsion 325 5
- Seite 347 und 348: 5.8 Beanspruchung auf Torsion 327 L
- Seite 349 und 350: 5.9 Beanspruchung auf Biegung 329 5
5.2 Beanspruchung auf Zug 281<br />
5.2.3.1 Verlängerung Dl und Dehnung e<br />
Jeder auf Zug beanspruchte Körper (Gummifaden,<br />
Stahldraht, Zugstab eines Fachwerkes usw.) verlängert<br />
sich um einen bestimmten Betrag Dl. Hat<br />
der Körper im ungespannten Zustand die Ursprungslänge<br />
l0, im gespannten Zustand dagegen<br />
die Länge l, so ist seine Verlängerung Dl die Differenz<br />
von Länge l bei Belastung und Ursprungslänge<br />
l0.<br />
Es wird angenommen, ein Stahlstab von beliebiger<br />
Länge l0 verlängere sich bei einer bestimmten<br />
Zugspannung um 10 mm. Dann würde sich ein<br />
doppelt so langer Stab unter sonst gleichen Voraussetzungen<br />
um 20 mm verlängern. Je nach größerer<br />
oder kleinerer Ursprungslänge l0 wird also die Verlängerung<br />
Dl trotz gleicher Spannung größer oder<br />
kleiner. Um längenunabhängige Vergleichswerte<br />
für die Werkstoffbeurteilung zu erhalten, bezieht<br />
man die Verlängerung Dl auf die Ursprungslänge<br />
l0. Dieser Quotient aus Verlängerung Dl und Ursprungslänge<br />
l0 heißt Dehnung e.<br />
In der Werkstoffprüfung gibt man die Dehnung in<br />
Prozenten an. In Festigkeitsrechnungen dagegen<br />
darf nur mit der Dezimalzahl gerechnet werden.<br />
5.2.3.2 Querdehnung eq<br />
An einem Gummifaden erkennt man, dass er bei<br />
Belastung nicht nur länger, sondern auch dünner<br />
wird. Ebenso nimmt auch der Querschnitt eines auf<br />
Zug beanspruchten Metallstabs ab, wenn auch<br />
nicht mit bloßem Auge erkennbar.<br />
Jede Dehnung ist also mit einer Querschnittsminderung<br />
verbunden. Daher hat man entsprechend<br />
der Dehnung e die Querdehnung eq definiert,<br />
und zwar als Verhältnis von Dickenänderung<br />
Dd (entsprechend Dl) und Ursprungsdicke d0 (entsprechend<br />
l0).<br />
Als Verhältnis zweier Längen muss auch die Querdehnung<br />
eq die Einheit Eins erhalten.<br />
Dl ¼ l l0<br />
Stab ungespannt und gespannt<br />
Verlängerung Dl<br />
Dehnung e ¼<br />
Ursprungslänge l0<br />
e ¼ Dl<br />
l0<br />
l l0<br />
¼<br />
l0<br />
Beachte: Als Verhältnis zweier Längen<br />
(Verlängerung Dl und Ursprungslänge l0)ist<br />
die Dehnung e eine Verhältnisgröße mit der<br />
Einheit Eins.<br />
Beispiel: Ein Stab von 100 mm Länge verlängert<br />
sich bei einer bestimmten Belastung um<br />
10 mm. Dann beträgt die Dehnung<br />
e ¼ Dl 10 mm<br />
¼ ¼ 0,1 ð10 %Þ<br />
100 mm<br />
l0<br />
Querdehnung des Stabes<br />
Dickenänderung Dd<br />
Querdehnung eq ¼<br />
ursprüngliche Dicke d0<br />
eq ¼ Dd<br />
d0<br />
¼ d0 d<br />
d0<br />
e Dl, l0, l<br />
1 mm<br />
eq Dd, d0, d<br />
1 mm