Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
Alfred Böge Technische Mechanik - PP99 Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
278 5.2 Beanspruchung auf Zug 5.2.1 Spannung Ein Stab von beliebiger, gleich bleibender Querschnittsfläche A wird durch die äußere Kraft F auf Zug beansprucht. Man legt einen Schnitt x –x quer (rechtwinklig) zur Stabachse. Das Gleichgewicht am linken Stabteil wird hergestellt durch die im Schnittflächenschwerpunkt SP angreifende innere Kraft FN normal zum Schnitt (Normalkraft). Die Gleichgewichtsbedingung SFx ¼ 0 ergibt FN ¼ F. Angenommen jedes Flächenteilchen des Querschnitts ist gleich stark an der Aufnahme der inneren Kraft beteiligt. Dann erhält man die Zugspannung sz einfach als Quotienten aus der Normalkraft FN und dem Flächeninhalt A der Querschnittsfläche. Damit wurde die Zug-Hauptgleichung gefunden, die für jede gerade vorliegende Aufgabe umgestellt werden kann. Ist der Querschnitt längs der Stabachse gleichbleibend, herrscht auch in jedem Schnitt die gleiche Spannung. Bei (allmählichen) Querschnittsänderungen gehört zum kleineren Querschnitt die größere Spannung und umgekehrt. Die im so genannten gefährdeten Querschnitt herrschende Spannung darf den festgelegten zulässigen Spannungswert nicht überschreiten. Gefährdet ist bei Zugbeanspruchung der Querschnitt mit der kleinsten Fläche. F F SP x x F N Zugbeanspruchter Stab F Querschnittsfläche A Normalkraft FN Zugspannung sz ¼ Querschnittsfläche A sz ¼ FN A Zug-Hauptgleichung Je nach vorliegender Aufgabe wird die Zug- Hauptgleichung umgestellt: Aerf ¼ FN sz zul sz vorh ¼ FN A FN max ¼ A sz zul sz zul 5 Festigkeitslehre sz FN A N N mm2 mm2 erforderlicher Querschnitt vorhandene Spannung maximale Belastung 5.2.2 Erkennen des gefährdeten Querschnitts in zugbeanspruchten Bauteilen Eine festigkeitstechnische Aufgabe kann nur dann richtig gelöst werden, wenn das zu untersuchende Bauteil richtig freigemacht und der gefährdete Querschnitt Agef richtig erkannt wird. Zur Ûbung wird das Aufsuchen des gefährdeten Querschnitts bei Zugbeanspruchung an einigen häufig vorkommenden Bauteilen erläutert.
5.2 Beanspruchung auf Zug 279 5.2.2.1 Profilstäbe mit Querbohrung In ungeschwächten Profilstäben (Kreis-, Kreisring, Rechteck-, Winkel-, Doppel-T-Profile usw.) muss in jedem Querschnitt längs der Zugachse die gleiche Spannung herrschen, weil die Querschnittsfläche überall gleich groß ist. Querbohrungen oder Querschnittsminderungen anderer Art führen an dieser Stelle zur Spannungserhöhung. Dort liegt also auch der gefährdete Querschnitt Agef; für den man mit den gewählten Bezeichnungen für die geometrischen Größen (Durchmesser d, Breite b, Dicke s usw.) eine Gleichung schreiben kann, z. B. für den gefährdeten Querschnitt eines Flachstahls in der Form Agef ¼ bs ds ¼ sðb dÞ. Falsch wäre etwa Agef ¼ bs sd2p=4. 5.2.2.2 Zuglaschen Øndern sich bei Zugstäben Querschnittsform oder Flächeninhalt längs der Zugachse, so legt man einen Schnitt nach jeder Querschnittsänderung; in der skizzierten Zuglasche beispielsweise die Schnitte x –x und y –y. Erst der Vergleich der Flächeninhalte Ax, Ay lässt den gefährdeten Querschnitt erkennen; er liegt dort, wo der Flächeninhalt am kleinsten ist, denn nach sz ¼ FN=A gehört zum kleineren Querschnitt die größere Spannung und umgekehrt. 5.2.2.3 Zugschrauben Auch für Schrauben gilt, dass der gefährdete Querschnitt dort liegt, wo sich der kleinste Flächeninhalt ergibt. Setzt man einen Schnitt im Gewindegrund eines Spitzgewindes an, dann endet dieser Schnitt auf der anderen Seite im Gewindegang, und die Form des Querschnitts weicht etwas von der Kreisform ab. Der so entstandene gefährdete Querschnitt heißt Spannungsquerschnitt AS. Erist für alle Befestigungsgewinde (Spitzgewinde) berechnet worden. Man kann ihn in mm 2 den Tabellen entnehmen (siehe Formelsammlung). A gef A gef ∅ D ∅ d ∅d1 s s ∅d d b s A = A oder A gef x y A gef d b Agef ¼ Ax ¼ p 4 d2 dd1 Agef ¼ Ax ¼ sðb dÞ Ax ¼ sðD dÞ Ay ¼ bs Agef ¼ Ax ¼ AS AS Spannungsquerschnitt Hinweis: Als gefährdeten Querschnitt bei Bewegungsgewinden (z. B. Trapezgewinde) nimmt man immer den Kernquerschnitt.
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5.2 Beanspruchung auf Zug 279<br />
5.2.2.1 Profilstäbe mit Querbohrung<br />
In ungeschwächten Profilstäben (Kreis-, Kreisring,<br />
Rechteck-, Winkel-, Doppel-T-Profile usw.) muss<br />
in jedem Querschnitt längs der Zugachse die gleiche<br />
Spannung herrschen, weil die Querschnittsfläche<br />
überall gleich groß ist. Querbohrungen oder<br />
Querschnittsminderungen anderer Art führen an<br />
dieser Stelle zur Spannungserhöhung. Dort liegt<br />
also auch der gefährdete Querschnitt Agef; für den<br />
man mit den gewählten Bezeichnungen für die<br />
geometrischen Größen (Durchmesser d, Breite b,<br />
Dicke s usw.) eine Gleichung schreiben kann, z. B.<br />
für den gefährdeten Querschnitt eines Flachstahls<br />
in der Form Agef ¼ bs ds ¼ sðb dÞ. Falsch<br />
wäre etwa Agef ¼ bs sd2p=4. 5.2.2.2 Zuglaschen<br />
Øndern sich bei Zugstäben Querschnittsform oder<br />
Flächeninhalt längs der Zugachse, so legt man<br />
einen Schnitt nach jeder Querschnittsänderung; in<br />
der skizzierten Zuglasche beispielsweise die<br />
Schnitte x –x und y –y. Erst der Vergleich der Flächeninhalte<br />
Ax, Ay lässt den gefährdeten Querschnitt<br />
erkennen; er liegt dort, wo der Flächeninhalt<br />
am kleinsten ist, denn nach sz ¼ FN=A<br />
gehört zum kleineren Querschnitt die größere<br />
Spannung und umgekehrt.<br />
5.2.2.3 Zugschrauben<br />
Auch für Schrauben gilt, dass der gefährdete Querschnitt<br />
dort liegt, wo sich der kleinste Flächeninhalt<br />
ergibt. Setzt man einen Schnitt im Gewindegrund<br />
eines Spitzgewindes an, dann endet dieser<br />
Schnitt auf der anderen Seite im Gewindegang,<br />
und die Form des Querschnitts weicht etwas von<br />
der Kreisform ab. Der so entstandene gefährdete<br />
Querschnitt heißt Spannungsquerschnitt AS. Erist<br />
für alle Befestigungsgewinde (Spitzgewinde) berechnet<br />
worden. Man kann ihn in mm 2 den Tabellen<br />
entnehmen (siehe Formelsammlung).<br />
A gef<br />
A gef<br />
∅ D<br />
∅ d<br />
∅d1<br />
s<br />
s<br />
∅d<br />
d<br />
b<br />
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A = A oder A<br />
gef x y<br />
A gef<br />
d<br />
b<br />
Agef ¼ Ax ¼ p<br />
4 d2<br />
dd1<br />
Agef ¼ Ax ¼ sðb dÞ<br />
Ax ¼ sðD dÞ<br />
Ay ¼ bs<br />
Agef ¼ Ax ¼ AS<br />
AS Spannungsquerschnitt<br />
Hinweis: Als gefährdeten Querschnitt bei<br />
Bewegungsgewinden (z. B. Trapezgewinde)<br />
nimmt man immer den Kernquerschnitt.