Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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Durch Division beider Gleichungen ergibt sich
eine Gleichung für das unbekannte Trägheitsmoment
J2, in der neben dem berechneten Trägheitsmoment
J1 nur noch die Periodendauer T1
und T2 steht, die man experimentell bestimmt.
Aufgaben Nr. 629–630
4.10.6 Das Schwerependel (Fadenpendel)
Auch hier wird als Erstes untersucht, ob die Rückstellkraft
FR der Auslenkung (hier dem Bogen s)
proportional ist, denn nur dann gilt das lineare
Kraftgesetz als Voraussetzung für eine harmonische
Schwingung.
Die Auslenkung s lässt sich aus der Pendellänge l
und dem Winkel a bestimmen. Da für kleine
Winkel (a < 14 ) der Arcus gleich dem Sinus
gesetzt werden kann (arc a ¼ sin a),
ist s ¼ l arc a ¼ l sin a und daraus sin a ¼ s=l.
Die Rückstellkraft FR ist die Sinuskomponente der
Gewichtskraft FG des Pendelkörpers. Sie ändert
sich laufend mit dem Winkel a. Masse m, Fallbeschleunigung
g und Pendellänge l sind für ein
bestimmtes Pendel gleich bleibende Größen, d. h.
es ist auch der Quotient mg=l eine Konstante. Sie
ist die schon bekannte Richtgröße D:
Auch für das Schwerependel gilt das lineare Kraftgesetz
und es liegt eine harmonische Schwingung
vor.
Die Periodendauer T für das Schwerependel erhält
man, wenn in die Gleichung für das Schraubenfederpendel
T ¼ 2p ffiffiffiffiffiffiffiffiffi p
m=R für die Federrate
R ¼ Richtgröße D ¼ mg=l eingesetzt wird.
T1 2
J1
¼
T2
2
J1 þ J2
T2
J2 ¼ J1
2 T1 2
T1 2
h
y
FG cos α
l
α
F G
s
α
F R = F
G
sin α
αmax
FR ¼ FG sin a ¼ mgsin a
sin a ¼ s
eingesetzt ergibt
l
FR ¼ mgsin a ¼ mg
s
l
FR ¼ Ds D ¼ mg
l
FR D s, l m g
N N
m
m kg m
s 2
Einschränkung: Die Auslenkung muss klein
sein. Allerdings beträgt der Fehler bei
a ¼ 14 nur ca. 1%.
rffiffiffiffi
rffiffiffiffi
sffiffiffiffiffiffi
m m ml
T ¼ 2p ¼ 2p ¼ 2p
R D mg
4 Dynamik
v 0