Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

4.10 Mechanische Schwingungen 255
Eine Gleichung für die Periodendauer T beim
Torsionsfederpendel erhält man mit der Analogiebetrachtung
zum Schraubenfederpendel im vorhergehenden
Kapitel 4.10.4.2. Das Trägheitsmoment J
beim Torsionsfederpendel entspricht der Masse m
des Pendelkörpers.
Auch beim Torsionsfederpendel ist die Periodendauer
T unabhängig von der Amplitude A.
Sie ist umso größer, je größer das Trägheitsmoment
J und je kleiner die Federrate R ist.
rffiffiffi
J
T ¼ 2p
R
rffiffiffiffi
m
T ¼ 2p
R
Torsionsfederpendel Schraubenfederpendel
Beachte: J ist das Trägheitsmoment bezogen
auf die Drehachse (siehe Kapitel 4.9.2,
Seite 233)
4.10.5.2 Experimentelle Bestimmung von Trägheitsmomenten J aus der Periodendauer
Kupplungsscheiben, Zahnräder, Wellen und
Schwungscheiben müssen im Betrieb beschleunigt
und verzögert werden. Den erforderlichen Berechnungen
liegt das dynamische Grundgesetz für die
Rotation Mres ¼ Ja zugrunde (siehe 4.9.1, Seite
232). Dazu muss das Trägheitsmoment J des umlaufenden
Bauteils bekannt sein.
Nicht alle Bauteile sind so einfach aufgebaut, dass
das Trägheitsmoment J aus fertigen Formeln berechnet
werden kann (siehe Tabelle 4.5, Seite 235).
Dann wird das Trägheitsmoment J experimentell
auf folgende Weise bestimmt:
Ein geometrisch einfacher Rotationskörper K1 von
bekanntem oder berechenbarem Trägheitsmoment
J1 wird an einen Torsionsstab von bekanntem
Durchmesser d und bekannter Länge l gehängt.
Benutzt man als Körper K1 z. B. eine Kreisscheibe,
kann nach Tabelle 4.5 das Trägheitsmoment J1 berechnet
werden.
Für den p Körper ffiffiffiffiffiffiffiffiffi K1 gilt für die Periodendauer
T1 ¼ 2p J1=R.
Steckt man beide Prüfkörper
auf, dannpgilt ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi für die Periodendauer
T2 ¼ 2p ðJ1 þ J2Þ=R.
Darin ist R die in beiden
Fällen gleiche Federrate des Torsionsstabs.
Körper K 1
d
J1 ¼ 1
2 rpr4 h
r
l
h
r Stahl ¼ 7,85 10 3 kg=m 3
T1 2 2 J1
¼ 4p
R
T2 2 ¼ 4p 2 J1 þ J2
R
Prüfkörper K 2
mit unbekanntem J 2
J r r, h
kg m2 kg
m3 m