Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
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Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

Alfred Böge Technische Mechanik - PP99 Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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250 4.10.3.4 Rückstellkraft FR, Richtgröße D und lineares Kraftgesetz bei der harmonischen Schwingung In den vorausgegangenen Kapiteln wurden die Bewegungsgleichungen für die harmonische Schwingung entwickelt und in 4.10.3.3 zusammengestellt. Jetzt sind noch die Kräftegleichungen für den harmonisch schwingenden Körper zu ermitteln. Auch dabei muss von der Kreisbewegung ausgegangen werden. Aus Kapitel 4.9.7, Seite 242, ist die Zentripetalkraft Fz ¼ mrw 2 bekannt, die den Körper der Masse m auf der Kreisbahn hält und immer zum Kreismittelpunkt M hin gerichtet ist. Ist die Winkelgeschwindigkeit w konstant, gilt das auch für die Zentripetalkraft Fz und für deren Komponenten Fx ¼ Fz cos Dj und Fy ¼ Fz sin Dj. Die Komponente Fy ist die in Schwingungsrichtung wirkende Rückstellkraft FR ¼ Fy ¼ Fz sin Dj. Sie ist immer der Auslenkung y entgegen zur Nulllage hin gerichtet. Der Sinus des Drehwinkels Dj lässt sich durch die Auslenkung y und die Amplitude A ausdrücken (sin Dj ¼ y=A), sodass sich für die Rückstellkraft FR ¼ Fz y=A ergibt. Darin sind Zentripetalkraft Fz (gleichförmige Drehung) und Amplitude A ¼ r ¼ konstante Größen. Damit ist auch der Quotient Fz/A konstant. Diese Größe wird in der Schwingungslehre als Richtgröße D bezeichnet. Die Rückstellkraft FR ist demnach der momentanen Auslenkung y proportional (FR y). Zusammenfassung: Die kinematische Untersuchung führte bei der gleichförmigen Kreisbewegung zu den Bewegungsgleichungen der harmonischen Schwingung. Die kinetische Untersuchung hat gezeigt, dass die Rückstellkraft FR linear von der Auslenkung y abhängig ist. Wird diese Aussage in den folgenden Untersuchungen bestätigt, liegt eine harmonische Schwingung vor: Eine harmonische Schwingung liegt vor, wenn die Rückstellkraft FR dem linearen Kraftgesetz in der Form FR y ¼ Dy folgt. y m Fz r=A 0 Fy M 0 Nulllage ω Δϕ Fy ¼ FR ¼ Fz sin Dj ¼ Fz y=A FR ¼ Fz A y F x = Fz cos Δϕ Δϕ Fz ¼ konstant ¼ Richtgröße D A FR ¼ Dy FR y FR ¼ Dy 4 Dynamik F z F y = Fz sin Δϕ Kriterium für die harmonische Schwingung

4.10 Mechanische Schwingungen 251 4.10.4 Das Schraubenfederpendel 4.10.4.1 Rückstellkraft FR und Federrate R Eine unbelastete, masselos gedachte Schraubenfeder wird mit einem Körper der Masse m belastet, sodass sie sich um Ds dehnt. In dieser Ruhelage (Nulllage 0–0) ist die Federspannkraft FS gleich der Gewichtskraft FG des Körpers (FS ¼ FG), wie der frei gemachte Körper zeigt. Wird der Körper um die Amplitude A ¼ ymax nach unten gezogen und dann losgelassen, schwingt er um die Ruhelage 0–0 mit der Amplitude A weiter (reibungsfrei betrachtet). Im unteren Umkehrpunkt des frei gemachten Pendelkörpers zieht die Feder mit der Federkraft FS nach oben, denn sie wirkt in dieser Stellung als Zugfeder. Die Rückstellkraft FR ist immer die resultierende Kraft, hier also die Differenz von Federspannkraft FS und Gewichtskraft FG: FR ¼ FS FG. Im oberen Umkehrpunkt wirkt die Feder als Druckfeder auf den Pendelkörper. Gewichtskraft FG und Federspannkraft FS sind gleich gerichtet (beide nach unten). Dann ist die Rückstellkraft FR die algebraische Summe von Gewichtskraft und Federspannkraft: FR ¼ FG þ FS. Auch die Untersuchung des frei gemachten Pendelkörpers in beliebigen Zwischenstellungen kann zu keinem anderen Ergebnis führen: Δs y Umkehrpunkt Ebene der 0 0 Ruhelage m 0 y -y y -y A=y max A=y max -y v = 0 y v = 0 y Umkehrpunkt 0 0 FR ¼ FS FG 0 F S F G F S F G F = 0 R F = F – F R S G F R F G F S F G F S F R F = F + F R S G

4.10 Mechanische Schwingungen 251<br />

4.10.4 Das Schraubenfederpendel<br />

4.10.4.1 Rückstellkraft FR und Federrate R<br />

Eine unbelastete, masselos gedachte Schraubenfeder<br />

wird mit einem Körper der Masse m belastet,<br />

sodass sie sich um Ds dehnt.<br />

In dieser Ruhelage (Nulllage 0–0) ist die Federspannkraft<br />

FS gleich der Gewichtskraft FG des<br />

Körpers (FS ¼ FG), wie der frei gemachte Körper<br />

zeigt.<br />

Wird der Körper um die Amplitude A ¼ ymax nach<br />

unten gezogen und dann losgelassen, schwingt er<br />

um die Ruhelage 0–0 mit der Amplitude A weiter<br />

(reibungsfrei betrachtet).<br />

Im unteren Umkehrpunkt des frei gemachten Pendelkörpers<br />

zieht die Feder mit der Federkraft FS<br />

nach oben, denn sie wirkt in dieser Stellung als<br />

Zugfeder.<br />

Die Rückstellkraft FR ist immer die resultierende<br />

Kraft, hier also die Differenz von Federspannkraft<br />

FS und Gewichtskraft FG: FR ¼ FS FG.<br />

Im oberen Umkehrpunkt wirkt die Feder als<br />

Druckfeder auf den Pendelkörper. Gewichtskraft<br />

FG und Federspannkraft FS sind gleich gerichtet<br />

(beide nach unten).<br />

Dann ist die Rückstellkraft FR die algebraische<br />

Summe von Gewichtskraft und Federspannkraft:<br />

FR ¼ FG þ FS.<br />

Auch die Untersuchung des frei gemachten Pendelkörpers<br />

in beliebigen Zwischenstellungen kann<br />

zu keinem anderen Ergebnis führen:<br />

Δs<br />

y<br />

Umkehrpunkt<br />

Ebene der<br />

0 0<br />

Ruhelage m<br />

0<br />

y<br />

-y<br />

y<br />

-y<br />

A=y max<br />

A=y max<br />

-y<br />

v = 0<br />

y<br />

v = 0<br />

y<br />

Umkehrpunkt<br />

0 0<br />

FR ¼ FS FG<br />

0<br />

F S<br />

F G<br />

F S<br />

F G<br />

F = 0<br />

R<br />

F = F – F<br />

R S G<br />

F R<br />

F G<br />

F S<br />

F G<br />

F S<br />

F R<br />

F = F + F<br />

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