Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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4.10.3.4 Rückstellkraft FR, Richtgröße D und lineares Kraftgesetz bei der harmonischen
Schwingung
In den vorausgegangenen Kapiteln wurden die Bewegungsgleichungen für die harmonische
Schwingung entwickelt und in 4.10.3.3 zusammengestellt. Jetzt sind noch die Kräftegleichungen
für den harmonisch schwingenden Körper zu ermitteln. Auch dabei muss von der Kreisbewegung
ausgegangen werden.
Aus Kapitel 4.9.7, Seite 242, ist die Zentripetalkraft
Fz ¼ mrw 2 bekannt, die den Körper der Masse
m auf der Kreisbahn hält und immer zum
Kreismittelpunkt M hin gerichtet ist. Ist die Winkelgeschwindigkeit
w konstant, gilt das auch für
die Zentripetalkraft Fz und für deren Komponenten
Fx ¼ Fz cos Dj und Fy ¼ Fz sin Dj.
Die Komponente Fy ist die in Schwingungsrichtung
wirkende Rückstellkraft FR ¼ Fy ¼
Fz sin Dj. Sie ist immer der Auslenkung y entgegen
zur Nulllage hin gerichtet. Der Sinus des
Drehwinkels Dj lässt sich durch die Auslenkung y
und die Amplitude A ausdrücken (sin Dj ¼ y=A),
sodass sich für die Rückstellkraft FR ¼ Fz y=A ergibt.
Darin sind Zentripetalkraft Fz (gleichförmige
Drehung) und Amplitude A ¼ r ¼ konstante Größen.
Damit ist auch der Quotient Fz/A konstant.
Diese Größe wird in der Schwingungslehre als
Richtgröße D bezeichnet.
Die Rückstellkraft FR ist demnach der momentanen
Auslenkung y proportional (FR y).
Zusammenfassung: Die kinematische Untersuchung
führte bei der gleichförmigen Kreisbewegung
zu den Bewegungsgleichungen der
harmonischen Schwingung. Die kinetische
Untersuchung hat gezeigt, dass die Rückstellkraft
FR linear von der Auslenkung y abhängig ist.
Wird diese Aussage in den folgenden Untersuchungen
bestätigt, liegt eine harmonische
Schwingung vor:
Eine harmonische Schwingung liegt vor, wenn
die Rückstellkraft FR dem linearen Kraftgesetz
in der Form FR y ¼ Dy folgt.
y
m
Fz
r=A
0
Fy M
0
Nulllage
ω
Δϕ
Fy ¼ FR ¼ Fz sin Dj ¼ Fz y=A
FR ¼ Fz
A y
F x = Fz cos Δϕ
Δϕ
Fz
¼ konstant ¼ Richtgröße D
A
FR ¼ Dy FR y
FR ¼ Dy
4 Dynamik
F z
F y = Fz sin Δϕ
Kriterium für die harmonische
Schwingung