Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

4.10 Mechanische Schwingungen 247
4.10.3.1.1 Auslenkung-Zeit-Gesetz
Der Punkt P bewegt sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
w von 0 bis 1. Der Radius r hat
dabei den Drehwinkel Dj überstrichen. Die zugehörige
momentane Auslenkung y von der Mittellage
(Nulllage) ist die Sinuskomponente des Radius
r (y ¼ r sin Dj).
Wird nach 4.2.6 (Seite 179) w ¼ Dj=Dt und daraus
Dj ¼ w Dt eingesetzt, ergibt sich das Auslenkung-Zeit-Gesetz
y ¼ r sin ðwtÞ.
Für Dt schreibt man verkürzt t und bezeichnet den
Klammerausdruck als „Omega-t“.
4.10.3.1.2 Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz
Punkt P läuft mit der tangential gerichteten konstanten
Umfangsgeschwindigkeit vu um.
Gesucht wird die momentane Geschwindigkeit vy
des auf der Projektionsebene schwingenden Punktes
P. Wie das Parallelogramm nach der Zerlegung
des Geschwindigkeitsvektors vu zeigt, ist vy die
Kosinuskomponente der Umfangsgeschwindigkeit
vu: vy ¼ vu cos Dj.
Für die Umfangsgeschwindigkeit vu kann nach
4.2.7 (Seite 179) das Produkt aus Winkelgeschwindigkeit
w und Radius r eingesetzt werden
(vu ¼ wr).
4.10.3.1.3 Beschleunigung-Zeit-Gesetz
Jeder auf einer Kreisbahn umlaufende Punkt, auch
der gleichförmig umlaufende, wird in jedem Augenblick
zum Kreisbahnmittelpunkt M hin beschleunigt.
Diese Beschleunigung heißt Zentripetalbeschleunigung
az (siehe 4.9.7.1, Seite 242).
Die momentane Beschleunigung des Punktes P in
der Projektionsebene ist die Sinuskomponente
ay ¼ az sin Dj. Die Beschleunigung ay ist immer
der Auslenkung y entgegengerichtet. Deshalb
steht rechts vom Gleichheitszeichen das Minuszeichen.
1
P y
0
-0
r
Δϕ
M
ω
y ¼ r sin Dj
y ¼ r sin ðw DtÞ
y ¼ r sin ðwtÞ
v y
1
Δϕ
Δϕ
v u
M
ω
vy ¼ vu cos Dj
vy ¼ rw cos ðwtÞ
vy ¼ rw sin p
2 wt
Beachte: Es ist
cos Dj ¼ sin ð90 DjÞ, also
cos ðwtÞ ¼ sin ðp=2 wtÞ
-0
1
a y
Δϕ
a z
ω
ay ¼ az sin Dj
ay ¼ rw 2 sin ðwtÞ
ay ¼ yw 2