Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
Alfred Böge Technische Mechanik - PP99 Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
246 4.10 Mechanische Schwingungen 4.10.1 Begriff Schwingung ist eine auch im Alltag bekannte Bewegungsform von Körpern oder Masseteilchen, die sich am Ort um eine Ruhe- oder Nulllage herum bewegen (pendeln, schwingen), z. B. hin und her bei allen Pendeln wie Uhrenpendel, Fadenpendel, Federpendel. Brücken schwingen bei Belastung, ebenso eine Blattfeder oder (drehend) eine Torsionsstabfeder am Auto, aber auch Masseteilchen in einer Flüssigkeit oder Elektronen in der Atomhülle schwingen. Man spricht von elektrischen Schwingungen (Schwingkreis), optischen und akustischen (Ton-) Schwingungen. In diesem Kapitel werden nur mechanische Schwingungen behandelt; unterteilt in den kinematischen Bereich mit der Frage nach den Veränderungen der Bewegungsgrößen Weg s, Geschwindigkeit v, Beschleunigung a und in den kinetischen Bereich mit der Frage nach den Kräften F und Kraftmomenten M. 4.10.2 Ordnungsbegriffe Der Pendelkörper (Schwinger) einer Uhr führt eine freie Schwingung aus, wenn er ohne Antrieb nie zur Ruhe käme. Tatsächlich tritt immer Reibung auf und es kommt zu gedämpften Schwingungen. Die Reibung entzieht dem Schwinger (Kugel, Pendel) Energie, die Auslenkung (Größtwert: Amplitude) wird immer kleiner. Wird dem Schwinger von außen Energie zugeführt, spricht man von erzwungener Schwingung. Ist dabei die zugeführte Energiemenge durch Regelung so dosiert, dass die Schwingung gerade aufrecht erhalten bleibt, nennt man das eine erzwungene selbsterregte Schwingung (mechanisches Uhrwerk). 4.10.3 Die harmonische Schwingung 4.10.3.1 Die Bewegungsgesetze der harmonischen Schwingung Läuft der Punkt P auf dem Radius r gleichförmig mit der Winkelgeschwindigkeit w um, dann entspricht einem Umlauf auf der Kreisbahn eine Aufund Abwärtsbewegung des projizierten Punktes auf der Projektionswand. Die so entstandene Bewegung heißt harmonische Schwingung. Gesucht werden die Gesetzmäßigkeiten zur Berechnung von Auslenkung y, Geschwindigkeit vy und Beschleunigung ay des schwingenden Punktes P. Die gefundenen Gleichungen sind die Gleichungen der harmonischen Schwingung. 0 8 1 P r 7 Auslenkung y 2 ω = konst. 6 M 3 5 4 -y 2 1(3) Nulllage 0,8(4) 4 Dynamik 7(5) 6 Projektionsebene
4.10 Mechanische Schwingungen 247 4.10.3.1.1 Auslenkung-Zeit-Gesetz Der Punkt P bewegt sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit w von 0 bis 1. Der Radius r hat dabei den Drehwinkel Dj überstrichen. Die zugehörige momentane Auslenkung y von der Mittellage (Nulllage) ist die Sinuskomponente des Radius r (y ¼ r sin Dj). Wird nach 4.2.6 (Seite 179) w ¼ Dj=Dt und daraus Dj ¼ w Dt eingesetzt, ergibt sich das Auslenkung-Zeit-Gesetz y ¼ r sin ðwtÞ. Für Dt schreibt man verkürzt t und bezeichnet den Klammerausdruck als „Omega-t“. 4.10.3.1.2 Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz Punkt P läuft mit der tangential gerichteten konstanten Umfangsgeschwindigkeit vu um. Gesucht wird die momentane Geschwindigkeit vy des auf der Projektionsebene schwingenden Punktes P. Wie das Parallelogramm nach der Zerlegung des Geschwindigkeitsvektors vu zeigt, ist vy die Kosinuskomponente der Umfangsgeschwindigkeit vu: vy ¼ vu cos Dj. Für die Umfangsgeschwindigkeit vu kann nach 4.2.7 (Seite 179) das Produkt aus Winkelgeschwindigkeit w und Radius r eingesetzt werden (vu ¼ wr). 4.10.3.1.3 Beschleunigung-Zeit-Gesetz Jeder auf einer Kreisbahn umlaufende Punkt, auch der gleichförmig umlaufende, wird in jedem Augenblick zum Kreisbahnmittelpunkt M hin beschleunigt. Diese Beschleunigung heißt Zentripetalbeschleunigung az (siehe 4.9.7.1, Seite 242). Die momentane Beschleunigung des Punktes P in der Projektionsebene ist die Sinuskomponente ay ¼ az sin Dj. Die Beschleunigung ay ist immer der Auslenkung y entgegengerichtet. Deshalb steht rechts vom Gleichheitszeichen das Minuszeichen. 1 P y 0 -0 r Δϕ M ω y ¼ r sin Dj y ¼ r sin ðw DtÞ y ¼ r sin ðwtÞ v y 1 Δϕ Δϕ v u M ω vy ¼ vu cos Dj vy ¼ rw cos ðwtÞ vy ¼ rw sin p 2 wt Beachte: Es ist cos Dj ¼ sin ð90 DjÞ, also cos ðwtÞ ¼ sin ðp=2 wtÞ -0 1 a y Δϕ a z ω ay ¼ az sin Dj ay ¼ rw 2 sin ðwtÞ ay ¼ yw 2
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4.10 Mechanische Schwingungen 247<br />
4.10.3.1.1 Auslenkung-Zeit-Gesetz<br />
Der Punkt P bewegt sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit<br />
w von 0 bis 1. Der Radius r hat<br />
dabei den Drehwinkel Dj überstrichen. Die zugehörige<br />
momentane Auslenkung y von der Mittellage<br />
(Nulllage) ist die Sinuskomponente des Radius<br />
r (y ¼ r sin Dj).<br />
Wird nach 4.2.6 (Seite 179) w ¼ Dj=Dt und daraus<br />
Dj ¼ w Dt eingesetzt, ergibt sich das Auslenkung-Zeit-Gesetz<br />
y ¼ r sin ðwtÞ.<br />
Für Dt schreibt man verkürzt t und bezeichnet den<br />
Klammerausdruck als „Omega-t“.<br />
4.10.3.1.2 Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz<br />
Punkt P läuft mit der tangential gerichteten konstanten<br />
Umfangsgeschwindigkeit vu um.<br />
Gesucht wird die momentane Geschwindigkeit vy<br />
des auf der Projektionsebene schwingenden Punktes<br />
P. Wie das Parallelogramm nach der Zerlegung<br />
des Geschwindigkeitsvektors vu zeigt, ist vy die<br />
Kosinuskomponente der Umfangsgeschwindigkeit<br />
vu: vy ¼ vu cos Dj.<br />
Für die Umfangsgeschwindigkeit vu kann nach<br />
4.2.7 (Seite 179) das Produkt aus Winkelgeschwindigkeit<br />
w und Radius r eingesetzt werden<br />
(vu ¼ wr).<br />
4.10.3.1.3 Beschleunigung-Zeit-Gesetz<br />
Jeder auf einer Kreisbahn umlaufende Punkt, auch<br />
der gleichförmig umlaufende, wird in jedem Augenblick<br />
zum Kreisbahnmittelpunkt M hin beschleunigt.<br />
Diese Beschleunigung heißt Zentripetalbeschleunigung<br />
az (siehe 4.9.7.1, Seite 242).<br />
Die momentane Beschleunigung des Punktes P in<br />
der Projektionsebene ist die Sinuskomponente<br />
ay ¼ az sin Dj. Die Beschleunigung ay ist immer<br />
der Auslenkung y entgegengerichtet. Deshalb<br />
steht rechts vom Gleichheitszeichen das Minuszeichen.<br />
1<br />
P y<br />
0<br />
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r<br />
Δϕ<br />
M<br />
ω<br />
y ¼ r sin Dj<br />
y ¼ r sin ðw DtÞ<br />
y ¼ r sin ðwtÞ<br />
v y<br />
1<br />
Δϕ<br />
Δϕ<br />
v u<br />
M<br />
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vy ¼ vu cos Dj<br />
vy ¼ rw cos ðwtÞ<br />
vy ¼ rw sin p<br />
2 wt<br />
Beachte: Es ist<br />
cos Dj ¼ sin ð90 DjÞ, also<br />
cos ðwtÞ ¼ sin ðp=2 wtÞ<br />
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a y<br />
Δϕ<br />
a z<br />
ω<br />
ay ¼ az sin Dj<br />
ay ¼ rw 2 sin ðwtÞ<br />
ay ¼ yw 2