Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
Alfred Böge Technische Mechanik - PP99 Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
244 2. Ûbung: Ein Lieferwagen mit der Masse m ¼ 1000 kg fährt mit v ¼ 80 km/h durch eine nicht überhöhte Kurve vom Radius rs ¼ 55 m. Der Fahrzeugschwerpunkt S liegt h ¼ 0,65 m über der Fahrbahndecke, die Spurweite der Räder beträgt l ¼ 1,2 m. Als Haftreibungszahl wird m0 ¼ 0,6 angenommen. Es ist zu untersuchen, ob der Wagen in der Kurve kippt oder rutscht. Lösung: Die Lageskizze zeigt, dass der Wagen dann nicht um A kippt, wenn das linksdrehende Moment Fzh (Kippmoment) kleiner ist als das rechtsdrehende FG l=2 (Standmoment). Auch hier zeigt die Entwicklung der Gleichung die Unabhängigkeit von der Masse m des Wagens. Die Ausrechnung ergibt: Der Wagen kippt (gerade noch) nicht. Der Wagen rutscht in der Kurve, wenn die Summe der an den vier Rädern angreifenden Reibungskräfte kleiner ist, als die nach links wirkende Fliehkraft Fz. Diese Bedingung wird überprüft, indem man die Gleichung nach der Haftreibungszahl m0 auflöst. Die Ausrechnung zeigt: Die Haftreibungszahl m0 ist kleiner als erforderlich, d. h. der Wagen rutscht ( m0 ¼ 0,6 < 0,915). 3. Ûbung: Ein dünner Ring von der Dichte r läuft mit der Winkelgeschwindigkeit w (Umfangsgeschwindigkeit vu) um. Es soll eine Gleichung zur Bestimmung der Zugspannung sz im Schnitt A B des Ringes hergeleitet werden. Lösung: Für den geschnittenen Ring muss in der gezeichneten Stellung SFx ¼ 0 sein, d. h. im Flächenschwerpunkt beider Querschnitte greift die Normalkraft FN ¼ Fz=2 als innere Kraft an. Diese Normalkraft FN erzeugt die Zugspannung sz ¼ FN=A ¼ Fz=2A (A ¼ Querschnittsfläche). Fz h FG v 2 rs l 2 h g l 2 80 m 0,65 m 3,6 s 55 m 5,836 < 5,886 FR0 max mgm 0 m 0 m 0 2 v 2 grs Fz m v2 rs 2 v Fz ¼ m rs 80 m 3,6 s 9,81 m ¼ 0,915 55 m s2 0,6 < 0,915 sz ¼ Fz 2 mrsw ¼ 2A 2A m ¼ Vr ¼ prAr rs ¼ 2r p 2 FG ¼ mg 9,81 m 0,6 m s2 Schwerpunktsabstand des Halbkreisbogens 4 Dynamik
4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation) 245 Die Fliehkraft Fz ist eine Trägheitskraft (siehe d’Alembert, 4.4.6, Seite 195), d. h. sie greift im Schwerpunkt der Halbkreislinie mit dem Radius r an: rs ¼ 2r=p. Es muss zwischen r und rs unterschieden werden. Man sieht, dass die Zugspannung sz unabhängig von der Querschnittsfläche A des dünnen Ringes ist. Dreht sich der dünne Ring mit einer Umfangsgeschwindigkeit von 36 m/s, und besitzt er eine Dichte von 7850 kg/m 3 , dann beträgt die Zugspannung sz 10 N=mm 2 . Aufgaben Nr. 610–620 prAr sz ¼ 2r p w2 2A sz ¼ r 2 w 2 r sz ¼ vu 2 r sz ¼ vu 2 2 m2 r ¼ 36 sz ¼ 10,17 10 1 N 6 ¼ 10 m2 N s2 kg 7850 m3 ¼ 10,17 m2 N 4.9.8 Gegenüberstellung der translatorischen und rotatorischen Größen Geradlinige (translatorische) Bewegung Drehende (rotatorische) Bewegung 6 N sz r w vu r N rad m m2 s mm 2 Größe Definitionsgleichung Einheit Größe Definitionsgleichung Einheit Zeit t Basisgröße s Zeit t Basisgröße s Verschiebeweg s Basisgröße m Drehwinkel j j ¼ b r rad Masse m Basisgröße kg Trägheitsmoment J J ¼ S Dmr 2 Geschwindigkeit v (v ¼ konstant) v ¼ Ds Dt m s Winkelgeschwindigkeit w (w ¼ konstant) w ¼ Dj Dt Arbeit W W¼Fs J Dreharbeit Wrot Wrot ¼ Mj ¼ FTr j J Leistung P P ¼ W t ¼ Fv W Drehleistung Prot Prot ¼ Wrot ¼ Mw t W Elastische F ¼ Rs Verformung (geradlinig) W ¼ 1 2 Rs2 N Elastische M ¼ Rj J Verformung (kreisförmig) W ¼ 1 2 Rj2 Nm J Beschleunigung a a ¼ Dv Dt Beschleunigungskraft Fres kinetische Energie Ekin Impulserhaltungssatz m s 2 Winkelbeschleunigung a Fres ¼ ma N Beschleunigungsmoment Mres Ekin ¼ m 2 v2 J Rotationsenergie Erot mv ¼ konstant Impulserhaltungssatz a ¼ Dw Dt mm 2 m s kg m 3 kgm 2 rad s rad s 2 Mres ¼ Ja Nm Erot ¼ J 2 w2 Jw ¼ konstant J
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2. Ûbung: Ein Lieferwagen mit der Masse<br />
m ¼ 1000 kg fährt mit v ¼ 80 km/h durch eine<br />
nicht überhöhte Kurve vom Radius rs ¼ 55 m. Der<br />
Fahrzeugschwerpunkt S liegt h ¼ 0,65 m über der<br />
Fahrbahndecke, die Spurweite der Räder beträgt<br />
l ¼ 1,2 m. Als Haftreibungszahl wird m0 ¼ 0,6 angenommen.<br />
Es ist zu untersuchen, ob der Wagen in der Kurve<br />
kippt oder rutscht.<br />
Lösung: Die Lageskizze zeigt, dass der Wagen<br />
dann nicht um A kippt, wenn das linksdrehende<br />
Moment Fzh (Kippmoment) kleiner ist als das<br />
rechtsdrehende FG l=2 (Standmoment). Auch hier<br />
zeigt die Entwicklung der Gleichung die Unabhängigkeit<br />
von der Masse m des Wagens.<br />
Die Ausrechnung ergibt: Der Wagen kippt (gerade<br />
noch) nicht.<br />
Der Wagen rutscht in der Kurve, wenn die Summe<br />
der an den vier Rädern angreifenden Reibungskräfte<br />
kleiner ist, als die nach links wirkende<br />
Fliehkraft Fz. Diese Bedingung wird überprüft, indem<br />
man die Gleichung nach der Haftreibungszahl<br />
m0 auflöst.<br />
Die Ausrechnung zeigt: Die Haftreibungszahl m0<br />
ist kleiner als erforderlich, d. h. der Wagen rutscht<br />
( m0 ¼ 0,6 < 0,915).<br />
3. Ûbung: Ein dünner Ring von der Dichte r läuft<br />
mit der Winkelgeschwindigkeit w (Umfangsgeschwindigkeit<br />
vu) um.<br />
Es soll eine Gleichung zur Bestimmung der Zugspannung<br />
sz im Schnitt A B des Ringes hergeleitet<br />
werden.<br />
Lösung: Für den geschnittenen Ring muss in der<br />
gezeichneten Stellung SFx ¼ 0 sein, d. h. im Flächenschwerpunkt<br />
beider Querschnitte greift die<br />
Normalkraft FN ¼ Fz=2 als innere Kraft an. Diese<br />
Normalkraft FN erzeugt die Zugspannung<br />
sz ¼ FN=A ¼ Fz=2A (A ¼ Querschnittsfläche).<br />
Fz h FG<br />
v 2<br />
rs<br />
l<br />
2<br />
h g l<br />
2<br />
80 m<br />
0,65 m<br />
3,6 s<br />
55 m<br />
5,836 < 5,886<br />
FR0 max<br />
mgm 0<br />
m 0<br />
m 0<br />
2<br />
v 2<br />
grs<br />
Fz<br />
m v2<br />
rs<br />
2 v<br />
Fz ¼ m<br />
rs<br />
80 m<br />
3,6 s<br />
9,81 m ¼ 0,915<br />
55 m<br />
s2 0,6 < 0,915<br />
sz ¼ Fz<br />
2 mrsw<br />
¼<br />
2A 2A<br />
m ¼ Vr ¼ prAr<br />
rs ¼ 2r<br />
p<br />
2<br />
FG ¼ mg<br />
9,81 m<br />
0,6 m<br />
s2 Schwerpunktsabstand<br />
des Halbkreisbogens<br />
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