Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation) 243
Löst man die Gleichung nach Dv=Dt auf, und beacht,
dass jeder Quotient aus einer Geschwindigkeitsänderung
und dem zugehörigen Zeitabschnitt
eine Beschleunigung darstellt, dann erhält man die
Gleichung für den Betrag der Zentripetalbeschleunigung
az. Eine zweite Form findet man, indem
nach 4.2.7 (Seite 179) für vu ¼ rs w eingesetzt
wird. Die Zentripetalbeschleunigung az ist zum
Drehmittelpunkt gerichtet.
Ursache jeder Beschleunigung ist nach dem dynamischen
Grundgesetz immer eine resultierende Kraft
Fres ¼ ma. Diese Kraft heißt hier Zentripetalkraft
Fz. Sie steht nach d’Alembert im Gleichgewicht
mit der entgegengesetzt gerichteten Trägheitskraft
des Körpers, die Fliehkraft oder Zentrifugalkraft
heißt. Diese Kräfte haben Bedeutung bei Fliehkraftreglern,
Kreiselpumpen, Unwuchten, Schleudergussverfahren,
Kurvenfahrten von Fahrzeugen
usw.
4.9.7.2 Ûbungen zur Fliehkraft
1. Ûbung: Eine Rennstrecke soll in einer Kurve
vom Radius rs ¼ 400 m eine Geschwindigkeit von
v ¼ 280 km/h ermöglichen, ohne dass an den Reifen
seitliche Reibungskräfte abgestützt werden
müssen. Dazu muss der Neigungswinkel a der
Fahrbahn so groß werden, dass die Resultierende
aus Fliehkraft Fz und Gewichtskraft FG in Normalenrichtung
auf der Fahrbahn steht.
Welchen Neigungswinkel a muss die Fahrbahn erhalten?
Lösung: Der Neigungswinkel a der Fahrbahndecke
zur Horizontalen tritt auch im Krafteck auf,
und zwar zwischen Gewichtskraft FG und Resultierender
Fres.
Die Entwicklung der Gleichung zeigt, dass der
Neigungswinkel a der Fahrbahn unabhängig ist
von der Masse m des Fahrzeugs, jedoch nicht von
der Fallbeschleunigung g.
Dv
Dt ¼ az ¼ vuvu
2
vu
¼
rs rs
2
vu
az ¼ ¼ rsw
rs
2
Zentripetalbeschleunigung
Beachte: rs ist der Radius des Kreises, auf
dem der Schwerpunkt des Körpers umläuft.
Fres ¼ ma
Fres ¼ Fz
a ¼ az
Fz ¼ maz ¼ mrs w 2 ¼ m
Zentripetalkraft
tan a ¼ Fz
2
vu
m
rs ¼
FG mg
tan a ¼ v2
grs
a ¼ arctan v2
grs
az vu rs w
m
s 2
m
s
vu 2
rs
m
Fz m az rs w vu
N ¼ kgm
s 2
kg m rad
m
s2 s
m
s
rad
s
vu ¼ v gesetzt
280 m
3,6 s
a ¼ arctan
9,81 m ¼ 57
400 m
s2 2