Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

242
4.9.7 Fliehkraft
4.9.7.1 Zentripetalbeschleunigung und Zentripetalkraft
Nach dem Trägheitsgesetz bewegt sich jeder Körper
mit konstanter Geschwindigkeit (v ¼ konstant)
auf geradliniger Bahn weiter, solange keine resultierende
Kraft auf ihn einwirkt. Dann bleibt also
nicht nur der Betrag des Geschwindigkeitsvektors
erhalten (z. B. v ¼ 4 m/s), sondern auch Richtung
und Richtungssinn.
Soll sich ein Körper auf einer kreisförmigen Bahn
bewegen, dann kann zwar der Betrag der Geschwindigkeit
vu (Umfangsgeschwindigkeit) gleich
groß bleiben (vu ¼ konstant), aber die Richtung des
Geschwindigkeitsvektors ändert sich laufend.
Es soll nun der Betrag der zum Mittelpunkt M gerichteten
Zentripetalbeschleunigung az bestimmt
werden:
Bei gleichförmiger Kreisbewegung bleibt der Betrag
der Umfangsgeschwindigkeit gleich groß, also
vu1 ¼ vu2 ¼ vu, jedoch hat sich ihre Richtung auf
dem Weg von P1 nach P2 geändert. In beiden
Punkten ist vu tangential gerichtet. Der Kreisbogen
_
P1P2 muss entsprechend der Grundgleichung für
die gleichförmige Bewegung gleich vu Dt sein,
also _ P1P2 ¼ vu Dt.
Der Radius des Kreises wird mit rs bezeichnet, um
schon hier deutlich zu zeigen, dass immer die Umlaufbahn
des Massenschwerpunkts eines Körpers
zu betrachten ist.
Man zeichnet sich nun die beiden Geschwindigkeitsvektoren
in den beiden Punkten P1 und P2 heraus
(Parallelverschiebung) und bezeichnt die Endpunkte
der Geschwindigkeitspfeile mit P 0 1 und P02 .
Aus der Øhnlichkeit der beiden schraffierten Dreiecke
kann die Verhältnisgleichung herausgelesen
werden.
Für sehr kleine Zeitabschnitte Dt kann man
_
P 0 1P02 ¼ P01 P02 setzen. Die Richtungsänderung der
beiden Geschwindigkeitsvektoren vu1, vu2 ist der
Vektor der Geschwindigkeitsänderung Dv. Damit
wird die Verhältnisgleichung entsprechend umgeschrieben.
Beachte: Wichtig ist für die folgende Betrachtung,
dass jeder Körper ohne äußere
Einflüsse von sich aus bestrebt ist, die gerade
Bewegungsbahn beizubehalten.
Beachte: Auch bei gleichförmiger Kreisbewegung
muss der umlaufende Körper dauernd
in Richtung zum Mittelpunkt hin abgelenkt
werden: Das ist ein
Beschleunigungsvorgang und es gilt
Fres ¼ ma.
_
P1P2
rs
Tangente
M’
n( ω)
r s
_
P
¼
0 1P02 vu
_
P1P2 ¼ vu Dt
P 0 1 P0 2
vu Dt
rs
¼ Dv
¼ Dv
vu
Δϕ
P 1
a z
M
v u2
Δϕ
P’ 2
v u1
Normale
4 Dynamik
a z
P’ 1
v u1
s=vu t
P 2
v u2
v=v
u2 –v u1,
denn v u1 + v
= vu2