Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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Ist das resultierende Drehmoment Mres aller äußeren
Drehmomente gleich null (momentfreies System),
dann ist auch der Momentenstoß Mres Dt
gleich null:
Bei Mres ¼ 0 bleibt der Drehimpuls eines Körpers
unverändert (Jw ¼ konstant).
Ein Vergleich der voranstehenden Entwicklungen
mit den Herleitungen zum Impuls bei geradliniger
Bewegung (4.4.9, Seite 202) zeigt deutlich die
strukturelle Ûbereinstimmung der Gesetze der geradlinigen
Bewegung und der Drehbewegung
(Analogie).
4.9.5 Kinetische Energie Erot (Rotationsenergie)
Man geht auf die gleiche Weise vor wie im Abschnitt
4.7.3, Seite 220:
Wird ein Körper, z. B. eine Schwungscheibe, aus
dem Stillstand heraus auf die Winkelgeschwindigkeit
w gebracht, dann ist dazu nach dem dynamischen
Grundgesetz das resultierende Drehmoment
Mres ¼ Ja erforderlich (4.9.1, Seite 232).
Mres dreht den Körper um den Drehwinkel Dj,
verrichtet also am Körper eine Arbeit, die Beschleunigungsarbeit
Wa ¼ Mres Dj.
Das ist genau die Energie oder Arbeitsfähigkeit,
mit der der Körper, z. B. das Schwungrad, an
einem anderen Körper Arbeit verrichten kann. Da
nur solche Körper diese Energieart besitzen, die
sich mit der Winkelgeschwindigkeit w drehen,
spricht man von Rotationsenergie Erot.
Mit der bisherigen Kenntnis der einander entsprechenden
Größen der geradlinigen und der Drehbewegung
hätte man die Gleichung für die Rotationsenergie
sofort aufschreiben können.
Besitzt ein Körper schon die Winkelgeschwindigkeit
w1 und wird er durch Mres über dem Drehwinkel
Dj auf die Winkelgeschwindigkeit w2 gebracht,
dann wird für Dj ¼ðw2 2 w1 2 Þ=2a
eingesetzt (Tabelle 4.3, Seite 186). Damit erhält
man eine Gleichung für die Beschleunigungsarbeit
Wa in der allgemeinen Form. Wa gibt dann zugleich
die Ønderung der Rotationsenergie des Körpers
an (DErot ¼ Erot 2 Erot 1). Vergleiche mit
Seite 220.
Mres Dt ¼ Jw2 Jw1 ¼ 0
Jw2 ¼ Jw1 ¼ konstant
Impulserhaltungssatz für
Drehung
Mres ¼ Ja ¼ J Dw
Dt
Dw ¼ w gesetzt
Mres Dj ¼ J w
Dt Dj
Mres Dj ¼ J w
Dt
w Dt
2
Mres Dj ¼ J
2 w2 ¼ Wa
RotationsBeschleunigungsenergie ¼
Erot arbeit Wa
Erot ¼ J
2 w2
Rotationsenergie
Masse m ¼b Trägheitsmoment J
Geschwindigkeit v ¼b Winkelgeschwindigkeit
w
Ekin ¼ m
2 v2 ) Erot ¼ J
2 w2
Mres Dj ¼ Ja Dj
Dj ¼ w2 2 w1 2
2a
Mres Dj ¼ Ja w2 2 w1 2
2a
Wa ¼ J
2 ðw2 2 w1 2 Þ¼DErot
Ønderung der Rotationsenergie
4 Dynamik
Erot, Wa J w
J ¼ Nm kg m2 rad
s