Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
Alfred Böge Technische Mechanik - PP99 Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
238 4.9.2.4 Reduzierte Masse mred und Trägheitsradius i Reduzierte Masse mred eines Körpers ist eine in beliebigem Abstand r von der Drehachse gedachte Ersatzmasse, die in Bezug auf die Drehachse das gleiche Trägheitsmoment Js besitzt, wie die verteilte Masse m des ursprünglichen Körpers. Dabei kann man sich die reduzierte Masse mred als sehr dünnen Hohlzylinder, als Kugel, als Punkt usw. denken. Manche Rechnungen und Ûberlegungen werden dadurch einfacher. Je nach Wahl des Abstandes r für die reduzierte Masse erhält man dafür einen anderen Betrag, denn es muss immer von der Definitionsgleichung für das Trägheitsmoment ausgegangen werden, in diesem Fall also von Js ¼ mredr 2 . Im nebenstehenden Beispiel soll die Masse m des Kreiszylinders auf den Zylinderumfang bezogen werden (r bleibt gleich groß). Dann ergibt sich aus Js ¼ mredr 2 die reduzierte Masse mred ¼ Js=r 2 ¼ m=2. Man erhält demnach die reduzierte Masse mred, indem das Trägheitsmoment Js des ursprünglichen Körpers durch das Quadrat des gewählten Radius dividiert wird. Trägheitsradius i eines Körpers ist derjenige Abstand von der Drehachse, in dem man sich die Masse m des Körpers als reduzierte Masse umlaufend vorstellen muss, ohne dass sich das ursprüngliche Trägheitsmoment Js des Körpers ändert. Nach der Definitionsgleichung für das Trägheitsmoment muss mit Masse m und Trägheitsradius i jetzt Js ¼ mi 2 gelten. Daraus lässt sich der Trägheitsradius bestimmen. Aufgaben Nr. 582–596 Beispiel: Gesucht ist die reduzierte Masse mred für einen Kreiszylinder der Masse m, wenn man sich die Masse m auf den Zylinderumfang reduziert denkt. Js ¼ mr2 2 Js ¼ mred r 2 mred ¼ Js r 2 Js ¼ mi 2 i ¼ mred ¼ Js mr2 m ¼ ¼ r2 2r2 2 mred Ersatzmasse (reduzierte Masse) 4 Dynamik rffiffiffiffi Js gegebenes Trägheitsmoment Js m gegebene Masse m i gesuchter Trägheitsradius
4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation) 239 4.9.3 Ûbung zum dynamischen Grundgesetz für die Drehung Ûbung: Durch einen Bremsversuch soll das Trägheitsmoment J einer Scheibenkupplung bestimmt werden. Die Kupplung besitzt die Masse m ¼ 135 kg. Sie wird durch ein resultierendes Bremsmoment von 20 Nm in 25 s von n1 ¼ 2800 min 1 auf n2 ¼ 1345 min 1 abgebremst. Lösung: Im dynamischen Grundgesetz ersetzt man die Winkelbeschleunigung a definitionsgemäß durch a ¼ Dw=Dt ¼ðw1 w2Þ=Dt und löst die Gleichung nach J auf. In der Ausrechnung wird die Einheit Nm für das resultierende Drehmoment durch die Basiseinheiten (1 N ¼ 1 kgm/s 2 ) ersetzt. Gegeben: Mres ¼ 20 Nm Dt ¼ 25 s w1 ¼ pn1 30 w2 ¼ pn2 30 ¼ 293,2 rad s ¼ 140,8 rad s Gesucht: Js ¼ J ¼ f ðMres, Dt, w1, w2Þ Mres ¼ Ja ¼ J Dw Dt ¼ J w1 w2 Dt J ¼ Mres Dt w1 w2 J ¼ kg m2 20 s2 25 s ð293,2 140,8Þ rad s 4.9.4 Drehimpuls (Drall) und Impulserhaltungssatz für die Drehung Das dynamische Grundgesetz für Drehung kann in eine andere Form gebracht werden, mit der sich bestimmte Aufgaben einfacher lösen lassen. Dazu schreibt man für die Winkelbeschleunigung a ¼ Dw=Dt und multipliziert die so entstandene Gleichung mit dem Zeitabschnitt Dt. Diese Gleichung eignet sich besonders für Aufgaben, in denen der (meist sehr kurze) Zeitabschnitt Dt eine Rolle spielt (vergleiche mit 4.4.9, Seite 202). Das Produkt aus dem resultierenden äußeren Drehmoment Mres und dem Zeitabschnitt Dt heißt Momentenstoß. Das Produkt aus dem Trägheitsmoment J eines Körpers und seiner Winkelgeschwindigkeit w wird als Drehimpuls oder Drall bezeichnet: Die Ønderung des Drehimpulses eines Körpers ist gleich dem Momentenstoß des resultierenden Drehmomentes während des betrachteten Zeitabschnitts. Der Drehimpuls ist ein Vektor. Mres ¼ Ja a ¼ Dw Dt Mres ¼ J Dw Dt Dt Mres Dt ¼ J Dw Mres ðt2 t1Þ |fflfflfflffl{zfflfflfflffl} Dt J ¼ f ðMres, Dt, w1, w2Þ ¼ J ðw2 w1Þ |fflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflffl} Dw ¼ 3,28 kg m 2 Dt ¼ t2 t1 Dw ¼ w2 w1 gilt für Mres ¼ konstant Mres Dt Momentenstoß des resultierenden Drehmomentes Jw Drehimpuls (Drall) des Körpers Mres Dt ¼ Jw2 Jw1
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4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation) 239<br />
4.9.3 Ûbung zum dynamischen Grundgesetz für die Drehung<br />
Ûbung: Durch einen Bremsversuch soll das Trägheitsmoment<br />
J einer Scheibenkupplung bestimmt<br />
werden. Die Kupplung besitzt die Masse<br />
m ¼ 135 kg. Sie wird durch ein resultierendes<br />
Bremsmoment von 20 Nm in 25 s von n1 ¼<br />
2800 min 1 auf n2 ¼ 1345 min 1 abgebremst.<br />
Lösung: Im dynamischen Grundgesetz ersetzt<br />
man die Winkelbeschleunigung a definitionsgemäß<br />
durch a ¼ Dw=Dt ¼ðw1 w2Þ=Dt und<br />
löst die Gleichung nach J auf.<br />
In der Ausrechnung wird die Einheit Nm für das<br />
resultierende Drehmoment durch die Basiseinheiten<br />
(1 N ¼ 1 kgm/s 2 ) ersetzt.<br />
Gegeben: Mres ¼ 20 Nm<br />
Dt ¼ 25 s<br />
w1 ¼ pn1<br />
30<br />
w2 ¼ pn2<br />
30<br />
¼ 293,2 rad<br />
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¼ 140,8 rad<br />
s<br />
Gesucht: Js ¼ J ¼ f ðMres, Dt, w1, w2Þ<br />
Mres ¼ Ja ¼ J Dw<br />
Dt ¼ J w1 w2<br />
Dt<br />
J ¼ Mres Dt<br />
w1 w2<br />
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s2 25 s<br />
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4.9.4 Drehimpuls (Drall) und Impulserhaltungssatz für die Drehung<br />
Das dynamische Grundgesetz für Drehung kann in<br />
eine andere Form gebracht werden, mit der sich<br />
bestimmte Aufgaben einfacher lösen lassen. Dazu<br />
schreibt man für die Winkelbeschleunigung<br />
a ¼ Dw=Dt und multipliziert die so entstandene<br />
Gleichung mit dem Zeitabschnitt Dt. Diese Gleichung<br />
eignet sich besonders für Aufgaben, in<br />
denen der (meist sehr kurze) Zeitabschnitt Dt eine<br />
Rolle spielt (vergleiche mit 4.4.9, Seite 202).<br />
Das Produkt aus dem resultierenden äußeren Drehmoment<br />
Mres und dem Zeitabschnitt Dt heißt Momentenstoß.<br />
Das Produkt aus dem Trägheitsmoment J eines<br />
Körpers und seiner Winkelgeschwindigkeit w wird<br />
als Drehimpuls oder Drall bezeichnet:<br />
Die Ønderung des Drehimpulses eines Körpers<br />
ist gleich dem Momentenstoß des resultierenden<br />
Drehmomentes während des betrachteten<br />
Zeitabschnitts.<br />
Der Drehimpuls ist ein Vektor.<br />
Mres ¼ Ja a ¼ Dw<br />
Dt<br />
Mres ¼ J Dw<br />
Dt Dt<br />
Mres Dt ¼ J Dw<br />
Mres ðt2 t1Þ<br />
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Dt<br />
J ¼ f ðMres, Dt, w1, w2Þ<br />
¼ J ðw2 w1Þ<br />
|fflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflffl}<br />
Dw<br />
¼ 3,28 kg m 2<br />
Dt ¼ t2 t1<br />
Dw ¼ w2 w1<br />
gilt für<br />
Mres ¼ konstant<br />
Mres Dt Momentenstoß des resultierenden<br />
Drehmomentes<br />
Jw Drehimpuls (Drall) des Körpers<br />
Mres Dt ¼ Jw2 Jw1