Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation) 239
4.9.3 Ûbung zum dynamischen Grundgesetz für die Drehung
Ûbung: Durch einen Bremsversuch soll das Trägheitsmoment
J einer Scheibenkupplung bestimmt
werden. Die Kupplung besitzt die Masse
m ¼ 135 kg. Sie wird durch ein resultierendes
Bremsmoment von 20 Nm in 25 s von n1 ¼
2800 min 1 auf n2 ¼ 1345 min 1 abgebremst.
Lösung: Im dynamischen Grundgesetz ersetzt
man die Winkelbeschleunigung a definitionsgemäß
durch a ¼ Dw=Dt ¼ðw1 w2Þ=Dt und
löst die Gleichung nach J auf.
In der Ausrechnung wird die Einheit Nm für das
resultierende Drehmoment durch die Basiseinheiten
(1 N ¼ 1 kgm/s 2 ) ersetzt.
Gegeben: Mres ¼ 20 Nm
Dt ¼ 25 s
w1 ¼ pn1
30
w2 ¼ pn2
30
¼ 293,2 rad
s
¼ 140,8 rad
s
Gesucht: Js ¼ J ¼ f ðMres, Dt, w1, w2Þ
Mres ¼ Ja ¼ J Dw
Dt ¼ J w1 w2
Dt
J ¼ Mres Dt
w1 w2
J ¼
kg m2
20
s2 25 s
ð293,2 140,8Þ rad
s
4.9.4 Drehimpuls (Drall) und Impulserhaltungssatz für die Drehung
Das dynamische Grundgesetz für Drehung kann in
eine andere Form gebracht werden, mit der sich
bestimmte Aufgaben einfacher lösen lassen. Dazu
schreibt man für die Winkelbeschleunigung
a ¼ Dw=Dt und multipliziert die so entstandene
Gleichung mit dem Zeitabschnitt Dt. Diese Gleichung
eignet sich besonders für Aufgaben, in
denen der (meist sehr kurze) Zeitabschnitt Dt eine
Rolle spielt (vergleiche mit 4.4.9, Seite 202).
Das Produkt aus dem resultierenden äußeren Drehmoment
Mres und dem Zeitabschnitt Dt heißt Momentenstoß.
Das Produkt aus dem Trägheitsmoment J eines
Körpers und seiner Winkelgeschwindigkeit w wird
als Drehimpuls oder Drall bezeichnet:
Die Ønderung des Drehimpulses eines Körpers
ist gleich dem Momentenstoß des resultierenden
Drehmomentes während des betrachteten
Zeitabschnitts.
Der Drehimpuls ist ein Vektor.
Mres ¼ Ja a ¼ Dw
Dt
Mres ¼ J Dw
Dt Dt
Mres Dt ¼ J Dw
Mres ðt2 t1Þ
|fflfflfflffl{zfflfflfflffl}
Dt
J ¼ f ðMres, Dt, w1, w2Þ
¼ J ðw2 w1Þ
|fflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflffl}
Dw
¼ 3,28 kg m 2
Dt ¼ t2 t1
Dw ¼ w2 w1
gilt für
Mres ¼ konstant
Mres Dt Momentenstoß des resultierenden
Drehmomentes
Jw Drehimpuls (Drall) des Körpers
Mres Dt ¼ Jw2 Jw1