Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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4.9.2.4 Reduzierte Masse mred und Trägheitsradius i
Reduzierte Masse mred eines Körpers ist eine in beliebigem
Abstand r von der Drehachse gedachte
Ersatzmasse, die in Bezug auf die Drehachse das
gleiche Trägheitsmoment Js besitzt, wie die verteilte
Masse m des ursprünglichen Körpers. Dabei
kann man sich die reduzierte Masse mred als sehr
dünnen Hohlzylinder, als Kugel, als Punkt usw.
denken. Manche Rechnungen und Ûberlegungen
werden dadurch einfacher. Je nach Wahl des Abstandes
r für die reduzierte Masse erhält man dafür
einen anderen Betrag, denn es muss immer von
der Definitionsgleichung für das Trägheitsmoment
ausgegangen werden, in diesem Fall also von
Js ¼ mredr 2 .
Im nebenstehenden Beispiel soll die Masse m des
Kreiszylinders auf den Zylinderumfang bezogen
werden (r bleibt gleich groß). Dann ergibt sich aus
Js ¼ mredr 2 die reduzierte Masse
mred ¼ Js=r 2 ¼ m=2.
Man erhält demnach die reduzierte Masse mred,
indem das Trägheitsmoment Js des ursprünglichen
Körpers durch das Quadrat des gewählten Radius
dividiert wird.
Trägheitsradius i eines Körpers ist derjenige Abstand
von der Drehachse, in dem man sich die
Masse m des Körpers als reduzierte Masse umlaufend
vorstellen muss, ohne dass sich das ursprüngliche
Trägheitsmoment Js des Körpers ändert.
Nach der Definitionsgleichung für das Trägheitsmoment
muss mit Masse m und Trägheitsradius i
jetzt Js ¼ mi 2 gelten. Daraus lässt sich der Trägheitsradius
bestimmen.
Aufgaben Nr. 582–596
Beispiel:
Gesucht ist die reduzierte Masse mred für
einen Kreiszylinder der Masse m, wenn man
sich die Masse m auf den Zylinderumfang
reduziert denkt.
Js ¼ mr2
2
Js ¼ mred r 2
mred ¼ Js
r 2
Js ¼ mi 2
i ¼
mred ¼ Js mr2 m
¼ ¼
r2 2r2 2
mred Ersatzmasse
(reduzierte Masse)
4 Dynamik
rffiffiffiffi Js gegebenes Trägheitsmoment
Js
m gegebene Masse
m i gesuchter Trägheitsradius