Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation) 237
Damit kann man den Verschiebesatz formulieren:
Das Trägheitsmoment J0 für eine Drehachse
0–0 ist gleich dem Trägheitsmoment Js für die
parallele Schwerachse s s des Körpers, vermehrt
um das Produkt aus der Masse m des
Körpers und dem Abstandsquadrat l 2 der beiden
Achsen. Eine der beiden parallelen Achsen
muss immer Schwerachse sein.
Sind die Trägheitsmomente Js1, Js2, Js3 mehrerer
Teilkörper auf eine zu den Teilschwerachsen parallele
Drehachse 0–0 zu beziehen, dann ist immer
das Produkt m1l1 2 , m2l2 2 , m3l3 2 hinzuzufügen.
Decken sich die Schwerachsen der Teilkörper mit
der Drehachse, dann werden die Produkte ml 2
gleich null, d. h. man darf dann (aber nur dann)
die Trägheitsmomente einfach addieren (für Bohrungen
subtrahieren).
Ûbung: Die im Abstand l ¼ 200 mm um eine
Drehachse 0 rotierende Kugel hat den Radius
r ¼ 10 mm und die Dichte r ¼ 8,6 g/cm 3 .Essoll
das Trägheitsmoment J0 für die Drehachse bestimmt
werden.
Lösung: Der Verschiebesatz wird angesetzt. Für
das Trägheitsmoment Js der Kugel in Bezug auf
die eigene Schwerachse findet man in Tabelle 4.5
(Seite 235) die Beziehung Jx ¼ð2=5Þ mr 2 ¼ Js.
Aus der Mathematik ist die Gleichung für das Kugelvolumen
bekannt. Außerdem weiß man, dass
m ¼ Vr ist (4.4.2, Seite 191).
Für die Ausrechnung wird hier als Masseneinheit g,
und als Längeneinheit cm benutzt.
Mit 1 g ¼ 10 3 kg und 1 cm 2 ¼ 10 4 m 2 kann abschließend
leicht umgerechnet werden.
J0 ¼ Js þ ml 2
Verschiebesatz
J0 ¼ Js1 þ m1l1 2 þ Js2 þ m2l2 2 þ ...
Verschiebesatz
Beachte: Bei Bohrungen werden Js und auch
ml 2 für die Bohrung negativ.
J0 ¼ Js1 þ Js2 þ Js3 þ ...þ Jsn
(gilt nur für l1 ¼ 0; l2 ¼ 0; l3 ¼ 0 ...ln ¼ 0)
J0 ¼ Js þ ml 2
m ¼ 4
3 pr3 r (Kugelmasse)
Js ¼ 2
5 mr2 (nach Tabelle 4.5, Seite 235)
J0 ¼ 2
5 mr2 þ ml 2 ¼ m 2
5 r2 þ l 2
J0 ¼ 4
3 pr3 r
2
5 r2 þ l 2
J0 ¼ 14 424 g cm 2 ¼ 14,4 kg cm 2
J0 ¼ 14,4 10 4 kg m 2
J0, Js m l
kg m 2 kg m