Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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4.9.2.3 Verschiebesatz (Steiner’scher Satz)
Die Berechnungsgleichungen für Trägheitsmomente
J in Tabelle 4.5 (Seite 235) wurden für die
Schwerachsen der Körper entwickelt, so wie bei
der Herleitung der Gleichung Jx ¼ 0,5rpr 4 h für
den Kreiszylinder. Diese Gleichungen gelten also
für den Fall, dass die Körperschwerachse zugleich
Drehachse ist.
Decken sich Körperschwerachse x x und Drehachse
0–0 (Bezugsachse) nicht, wie z. B. beim
Kurbelzapfen (Kreiszylinder) auf der Kurbelscheibe,
dann muss man das Trägheitsmoment J0 des
Teilkörpers (Kurbelzapfen) in Bezug auf die parallele
Drehachse 0–0 nach dem Verschiebesatz von
Steiner bestimmen. Das ist das gleiche Verfahren
wie z. B. bei der Biegebeanspruchung in der Festigkeitslehre,
wenn die Flächenschwerachse der
Teilfläche nicht zugleich Biegeachse der ganzen
Fläche ist (siehe 5.7.6, Seite 313).
Zur Herleitung des Verschiebesatzes geht man von
der uneingeschränkt gültigen Definitionsgleichung
für das Trägheitsmoment aus, hier bezogen auf die
Drehachse 0–0. Der Abstand der Teilmasse Dm
von der Bezugsachse beträgt jetzt l þ rn, wie die
Skizze der Kurbelscheibe zeigt.
Das erste Glied der gefundenen Gleichung führt
zum Produkt ml 2 , weil SDm ¼ m ¼ Masse des
Kurbelzapfens ist.
Das zweite Glied wird null, weil SDmnrn ¼ 0 ist.
SDmn rn ist die Summe der statischen Momente
aller Teilmassen bezogen auf die Schwerachse des
Körpers. Diese Momentensumme ist gleich null
(siehe Momentensatz und Schwerpunktslehre).
Das dritte Glied erkennt man sofort: Es ist das
Trägheitsmoment Jx des Teilkörpers (Kurbelzapfen)
in Bezug auf die eigene Schwerachse (Jx ¼ Js
nach Tabelle 4.5).
In Tabelle 4.5 (Seite 235) sind die x-Achsen
und die z-Achsen Schwerachsen der Körper.
Jx ist das Trägheitsmoment des Körpers bezogen
auf die Schwerachse x x usw.
x x Schwerachse des Kreiszylinders
0–0 Drehachse (Bezugsachse)
rn
Dmn
l
zu Dmn gehöriger Radius
beliebige Teilmasse
Abstand Schwerachse-Drehachse
(Bezugsachse)
J0 ¼ Summe aller Teilmassen mal Abstandsquadrat
J0 ¼ SDmnðl þ rnÞ 2
J0 ¼ SDmnðl 2 þ 2lrn þ rn 2 Þ
J0 ¼ l 2 SDmn þ 2lSDmn rn þ SDmn rn |fflfflfflffl{zfflfflfflffl} |fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl}
1: Glied 2: Glied
2
|fflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflffl}
3: Glied
l 2 SDmn ¼ l 2 m ¼ ml 2
2l SDmn rn ¼ 2l 0 ¼ 0
SDmn rn 2 ¼ Jx ¼ Js
4 Dynamik
Js ist das Trägheitsmoment des Körpers bezogen
auf die eigene Schwerachse. Es kann Jx,
Jz oder J0 nach Tabelle 4.5 sein.