Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

234
4.9.2.2 Ûbung zum Trägheitsmoment
Das Verständnis für die Berechnungsgleichungen
in Tabelle 4.5 (Seite 235) wird vertieft, indem mit
Hilfe der Definitionsgleichung für das Trägheitsmoment
J ¼ SDmn rn 2 eine Gleichung entwickelt
wird, die für den Kreiszylinder gilt. Für die x-Achse
des Kreiszylinders muss man nach Tabelle 4.5
die Gleichung Jx ¼ rpr 4 h=2 finden (r ist die
Dichte des Stoffes).
Man löst zunächst den Kreiszylinder in drei Teilkörper
auf (Dm1, Dm2, Dm3) und legt deren mittlere
Radien r1, r2, r3 in Abhängigkeit vom Radius r
fest, denn das sind die Radien, mit deren Quadrat
die Teilmassen Dm1, Dm2, Dm3 zu multiplizieren
sind (Jx ¼ SDmn rn 2 ).
Die Teilmassen selbst erhält man nach 4.4.2
(Seite 189) als Produkt aus Dichte r, Fläche A und
Dicke h.
A1 ¼ p 2
10 r
A2 ¼ p 6
10 r
A3 ¼ p 10
10 r
2
2 4
¼ pr
100
2
2
p 2
10 r
p 6
10 r
2
2 32
¼ pr
100
2
2 64
¼ pr
100
Die Summierung der Produkte SDmn rn 2 ¼ Jx
ergibt in der Rechnung vor dem Produkt rpr 4 h
den Faktor 1/2,17, während die exakte Berechnung
zu dem Faktor 1/2,00 führen würde, wie die Tabelle
4.5 (Seite 235) zeigt. Wenn die sehr grobe Aufteilung
des Kreiszylinders schon zu dieser Annäherung
führt, dann ist anzunehmen, dass eine
Unterteilung in 6 oder 12 Teilkörper fast genau
den exakten Faktor 1/2,00 ergibt.
2 4
Dm1 ¼ rA1h ¼ rhpr
100
2 32
Dm2 ¼ rA2h ¼ rhpr
100
2 64
Dm3 ¼ rA3h ¼ rhpr
100
Dm1 r1 2 2 4
¼ rhpr
100
¼ rpr 4 h
4
10 000
Dm2 r2 2 2 32
¼ rhpr
100
¼ rpr 4 h 512
10 000
Dm3 r3 2 2 64
¼ rhpr
100
1
100 r2
16
100 r2
64
100 r2
¼ rpr 4 h 4096
10 000
SDmn rn 2 ¼ 4612
10 000 rpr4h ¼ 1
2,17 rpr4h Jx ¼ 1
2,17 rpr4 h
4 Dynamik
exakt nach Tabelle 4.5: Jx ¼ 1
2,00 rpr4 h