Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation) 233
Das auf einen Körper vom Trägheitsmoment J
einwirkende resultierende Drehmoment Mres ist
gleich dem Produkt aus dem Trägheitsmoment
J und der Winkelbeschleunigung a (Winkelverzögerung)
des Körpers.
Der Vergleich mit dem dynamischen Grundgesetz
Fres ¼ ma zeigt:
Das resultierende Drehmoment entspricht der
resultierenden Kraft (Mres ¼b Fres), das Trägheitsmoment
entspricht der Masse des Körpers (J ¼b m)
und die Winkelbeschleunigung entspricht der Beschleunigung
(a ¼b a).
4.9.2 Trägheitsmoment J und Trägheitsradius i
4.9.2.1 Definition des Trägheitsmomentes
In der Herleitung des dynamischen Grundgesetzes
für die Drehung eines Körpers entstand der Summenausdruck
SDmnrn 2 ,dermitTrägheitsmoment J
bezeichnet wird:
Multipliziert man jede Teilmasse Dm eines
Körpers mit dem Quadrat ihres Abstands von
der Drehachse, dann ergibt die Summe dieser
Produkte das Trägheitsmoment J dieses Körpers.
Die Einheit des Trägheitsmoments J ergibt sich
wie gewohnt aus der Definitionsgleichung:
Mit den kohärenten Einheiten kg und m erhält
man hier das Kilogramm-Meterquadrat (kg m2 ).
Natürlich kann auch mit jedem anderen Produkt
aus einer gesetzlichen Masseneinheit und dem
Quadrat einer gesetzlichen Längeneinheit gerechnet
werden.
Mit Hilfe der Gesetze der Integralrechnung hat
man für geometrisch einfache Körper die Berechnungsgleichungen
für das Trägheitsmoment
entwickelt (siehe Tabelle 4.5, Seite 235). Für kompliziertere
Körper bestimmt man das Trägheitsmoment
z. B. durch Schwingungsversuche (siehe
Fußnote Seite 205).
resultierendes
Drehmoment
Mres
Mres ¼ Ja
¼ Trägheitsmoment
J
Winkelbeschleunigung
a
Dynamisches Grundgesetz für Drehung
Mres ¼b Fres J ¼b m a ¼b a
Fres ¼ ma
Mres ¼ Ja
Mres ¼ aSDmn rn 2 ¼ a J
siehe auch 4.3.1, Seite 182
und 4.6.1, Seite 213.
J ¼ Dm1 r1 2 þ Dm2 r2 2 þ Dm3 r3 2 þ ...þ Dmn rn 2
J ¼ SDmn rn 2
ðJÞ ¼ðmÞðr 2 Þ
ðJÞ ¼kg m 2
Mres J a
kg m2
Nm ¼
s2 kg m2 rad
s2 J Dm r
kg m2 kg m
Beispiel:
J ¼ 0,004 kg m 2 ¼ 0,004 10 3 g 10 6 mm 2
J ¼ 4 10 6 gmm 2 ¼ 4 10 4 gcm 2 ¼ 40 000 g cm 2
Beispiel:
Für einen Kreiszylinder wird in Bezug auf
seine Längsachse mit m ¼ 10 kg und
r ¼ 200 mm nach Tabelle 4.5, Seite 235:
Jx ¼ 1
2 mr2 ¼ 1
2 10 kg ð0,2 mÞ2 ¼ 0,2 kg m 2