Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation)
Wie in der Bewegungslehre sollen auch hier die hergeleiteten Gleichungen und die wichtigsten
Erkenntnisse sofort mit den entsprechenden Gleichungen der Dynamik für die geradlinige Bewegung
verglichen werden (Analogiebetrachtung). Damit kommt man über Bekanntes leichter
zum Verständnis des Neuen.
4.9.1 Das dynamische Grundgesetz für die Drehbewegung
Das dynamische Grundgesetz Fres ¼ mader geradlinigen
Bewegung gilt auch für jede Teilmasse Dm
des beschleunigt umlaufenden Körpers. Für die resultierende
Kraft Fres setzt man hier die (kleine)
Tangentialkraft DFT ein. Gleichsinnig gerichtet ist
die Tangentialbeschleunigung aT. Damit wird aus
Fres ¼ ma nach 4.4.3 (Seite 192) das dynamische
Grundgesetz für die Teilmasse DFT ¼ DmaT.
Multipliziert man das dynamische Grundgesetz für
die Teilmasse Dm mit dem Radius r, dann steht
links vom Gleichheitszeichen mit DFTr ¼ DM
das Teil-Drehmoment der Tangentialkraft FT in
Bezug auf die Drehachse A des beschleunigt umlaufenden
Körpers. Außerdem wird nach 4.3.4
(Seite 184) für die Tangentialbeschleunigung
aT ¼ ar eingesetzt (a Winkelbeschleunigung).
Es wird nun die Summe aller Teil-Drehmomente
SDM gebildet.
Dann steht auf der linken Gleichungsseite das resultierende
Drehmoment Mres, was der resultierenden
Kraft Fres bei der geradlinigen Bewegung entspricht
(Mres ¼b Fres).
Auf der rechten Seite der Gleichung darf die konstante
Winkelbeschleunigung a vor das Summenzeichen
gesetzt werden. Der restliche Summenausdruck
SDmn rn 2 wird als Trägheitsmoment J
bezeichnet. Das muss man gesondert behandeln
(4.9.2, Seite 233).
Damit ist das dynamische Grundgesetz für die
Drehung eines Körpers um eine raumfeste Achse
gefunden.
Resultierende Tangentialkraft DFT und Tangentialbeschleunigung
aT der Teilmasse Dm
Fres ¼ ma
DFT ¼ DmaTj r
DFT r ¼ DmaT r
DM ¼ DmaT r
DM ¼ Dm arr ¼ Dmr 2 a
SDM ¼ SDmn rn 2 a
Mres ¼ SDmn rn 2 a
(Index n heißt natürliche Zahl, also 1, 2, 3, ...)
Mres ¼ a SDmn rn 2
|fflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflffl}
J
Mres ¼ a J
4 Dynamik
Das Trägheitsmoment J kann nach DIN 1304
auch als Massenmoment 2. Grades bezeichnet
werden.
Gleichungen für das Trägheitsmoment
verschiedener Körper siehe Seite 235.