Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
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228 Der Schlagwirkungsgrad h ist dann das Verhältnis zwischen der Formänderungsarbeit DW und der kinetischen Energie E1 ¼ m1v2 2 =2 des Hammerbärs beim Stoßbeginn. Amboss und Werkstück haben die gemeinsame Masse m2 und ihre Geschwindigkeit vor dem Stoß ist v2 ¼ 0. Die Wirkungsgradgleichung zeigt: Je größer die Ambossmasse m2 im Verhältnis zur Bärmasse m1 wird, umso größer wird der Wirkungsgrad h. Tatsächlich verformt sich der Bär elastisch. Er springt also nach dem Schlag geringfügig zurück. Dadurch wird der Wirkungsgrad verringert. 4.8.4.2 Rammen von Pfählen, Eintreiben von Keilen Hier wird keine Formänderung angestrebt. Vielmehr sollen beide Körper nach dem ersten Stoßabschnitt eine möglichst große gemeinsame Geschwindigkeit c besitzen, um den Widerstand der Unterlage gegen das Eindringen zu überwinden. Beim Rammen ist der angestrebte technische Nutzen eine möglichst große kinetische Energie E2 beider Körper nach dem Stoß (genauer: nach dem 1. Stoßabschnitt, weil der Untergrund durch plastische Verformung nachgibt). Der Schlagwirkungsgrad h ist darum hier das Verhältnis zwischen der kinetischen Energie E2 bei Stoßende und der kinetischen Energie E1 bei Stoßbeginn. Auch hier ist die Geschwindigkeit des einzurammenden Pfahles (Körper 2) v2 ¼ 0. Die entwickelte Gleichung zeigt, dass der Wirkungsgrad umso größer wird, je größer die Masse m1 des Bärs oder Hammers gegenüber der Masse m2 des Pfahles oder Keiles ist. Tatsächlich federn aber beide Körper beim Schlag. Dadurch wird der Wirkungsgrad kleiner. 4.8.5 Wirklicher Stoß Wirkliche Körper sind weder vollkommen elastisch noch vollkommen unelastisch, so dass ihr Verhalten zwischen den beiden in 4.8.3 und 4.8.4 behandelten Grenzfällen liegt. Die Aussagen für elastischen und unelastischen Stoß lassen sich für den wirklichen Stoß kombinieren. h ¼ m1m2ðv1 v2Þ 2 2ðm1 þ m2Þ m1v1 2 2 h ¼ m2 ¼ m1 þ m2 1 1 þ m1 m2 ¼ m2ðv1 v2Þ 2 ðm1 þ m2Þ v1 2 v2 ¼ 0 Wirkungsgrad beim Schmieden Hinweis: Bei normalen Maschinenhämmern ist die Masse der Schabotte (¼ Amboss mit Unterbau) etwa zwanzigmal so groß wie die Masse des Bärs. Der Schmiedevorgang ist nur annähernd ein unelastischer Stoß. Hinweis: Die Erfahrung lehrt, dass beim Rammen und Eintreiben ein schwerer Bär oder Hammer wirksamer ist als ein leichter. h ¼ kinetische Energie E2 bei Stoßende kinetische Energie E1 bei Stoßbeginn h ¼ ðm1 þ m2Þ c 2 2 m1v1 2 2 c 2 ¼ m1v1 þ m2v2 m1 þ m2 v2 ¼ 0 h ¼ ðm1 þ m2Þ m1 2v1 2 m1v1 2 m1 ¼ 2 ðm1 þ m2Þ m1 þ m2 h ¼ 1 1 þ m2 m1 Wirkungsgrad beim Rammen 4 Dynamik Beachte: Das Rammen ist nur annähernd ein unelastischer Stoß. Merkmale des wirklichen Stoßes: Ein Teil der Formänderungsarbeit W1 verwandelt sich infolge der inneren Reibung in Wärme Q ¼ DE und wird nicht zurückgegeben. Es kann bleibende Formänderung auftreten (geringer als beim unelastischen Stoß). Trennung der Körper nach dem Stoß. 2
4.8 Gerader zentrischer Stoß 229 Beim wirklichen Stoß verkleinert sich die Relativgeschwindigkeit. Die Formänderungsarbeit wird im zweiten Stoßabschnitt nicht vollständig zurückgegeben, sondern teilweise in Wärme umgewandelt. Die für den elastischen Stoß hergeleiteten Gleichungen lassen sich für den wirklichen Stoß weiterentwickeln, wenn als Verhältnis der Relativgeschwindigkeiten die Stoßzahl k eingeführt wird. Die Stoßzahl k hängt von der Werkstoffpaarung ab und wird durch Fallversuche ermittelt. Beim Fallversuch fällt eine Kugel aus dem einen Werkstoff auf eine festliegende Unterlage aus einem anderen Werkstoff. Die Geschwindigkeit der Unterlage vor und nach dem Stoß ist gleich null (v2 ¼ 0 und c2 ¼ 0). Die Fallhöhe h und die Rücksprunghöhe h1 werden gemessen. Daraus wird mit den Gesetzen des freien Falls und des Wurfs senkrecht nach oben die Stoßzahl k berechnet. Auch für den wirklichen Stoß gilt der Impulserhaltungssatz für kräftefreie Systeme. Wird in den Impulserhaltungssatz die Beziehung für c2 eingesetzt, die man aus der Definitionsgleichung für die Stoßzahl entwickeln kann, dann ergibt die weitere Entwicklung eine Gleichung für die Geschwindigkeit c1 des Körpers 1 nach dem wirklichen Stoß. Durch Vertauschen der Indizes erhält man die entsprechende Gleichung für die Geschwindigkeit c2 des Körpers 2. Werden die so entwickelten Beziehungen für c1 und c2 in die Gleichung für den Energieerhaltungssatz des wirklichen Stoßes E2 ¼ E1 DW eingesetzt, dann erhält man nach einer längeren Entwicklung die Gleichung für den Energieverlust DW beim wirklichen Stoß. F 1. Stoßabschnitt E > E 1 2 + + + + + + v > v 1 2 k ¼ c2 c1 v1 v2 2. Stoßabschnitt c c < c 1 2 Wärme ΔQ = ΔE Definitionsgleichung der Stoßzahl Stoßzahlen: k ¼ 1 elastischer Stoß k ¼ 0 unelastischer Stoß k ¼ 0,35 Stahl bei 1100 C k ¼ 0,7 Stahl bei 20 C pffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffi 0 ð c1Þ c1 2gh1 h1 k ¼ ¼ ¼ pffiffiffiffiffiffiffi ¼ v1 0 v1 2gh h rffiffiffiffi k ¼ h1 h Die Rückprallgeschwindigkeit c1 der Kugel ist der Aufprallgeschwindigkeit v1 entgegengerichtet und muss deshalb mit negativem Vorzeichen in die Stoßzahlgleichung eingesetzt werden. m1v1 þ m2v2 ¼ m1c1 þ m2c2 c2 ¼ kðv1 v2Þþc1 eingesetzt ergibt: c1 ¼ m1v1 þ m2v2 m2ðv1 v2Þ k m1 þ m2 c2 ¼ m1v1 þ m2v2 þ m1ðv1 v2Þ k m1 þ m2 Geschwindigkeiten nach dem wirklichen Stoß E2 ¼ E1 DW 1 2 ðm1c1 2 þ m2c2 2 Þ¼ 1 2 ðm1v1 2 þ m2v2 2 Þ DW DW ¼ 1 2 m1m2ðv1 v2Þ 2 ð1 k 2 Þ m1 þ m2 Energieverlust beim wirklichen Stoß s
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4.8 Gerader zentrischer Stoß 229<br />
Beim wirklichen Stoß verkleinert sich die Relativgeschwindigkeit.<br />
Die Formänderungsarbeit<br />
wird im zweiten Stoßabschnitt nicht vollständig<br />
zurückgegeben, sondern teilweise in Wärme<br />
umgewandelt.<br />
Die für den elastischen Stoß hergeleiteten Gleichungen<br />
lassen sich für den wirklichen Stoß weiterentwickeln,<br />
wenn als Verhältnis der Relativgeschwindigkeiten<br />
die Stoßzahl k eingeführt wird.<br />
Die Stoßzahl k hängt von der Werkstoffpaarung ab<br />
und wird durch Fallversuche ermittelt.<br />
Beim Fallversuch fällt eine Kugel aus dem einen<br />
Werkstoff auf eine festliegende Unterlage aus einem<br />
anderen Werkstoff. Die Geschwindigkeit der<br />
Unterlage vor und nach dem Stoß ist gleich null<br />
(v2 ¼ 0 und c2 ¼ 0). Die Fallhöhe h und die<br />
Rücksprunghöhe h1 werden gemessen. Daraus<br />
wird mit den Gesetzen des freien Falls und des<br />
Wurfs senkrecht nach oben die Stoßzahl k berechnet.<br />
Auch für den wirklichen Stoß gilt der Impulserhaltungssatz<br />
für kräftefreie Systeme. Wird in den Impulserhaltungssatz<br />
die Beziehung für c2 eingesetzt,<br />
die man aus der Definitionsgleichung für die Stoßzahl<br />
entwickeln kann, dann ergibt die weitere Entwicklung<br />
eine Gleichung für die Geschwindigkeit<br />
c1 des Körpers 1 nach dem wirklichen Stoß.<br />
Durch Vertauschen der Indizes erhält man die entsprechende<br />
Gleichung für die Geschwindigkeit c2<br />
des Körpers 2.<br />
Werden die so entwickelten Beziehungen für c1<br />
und c2 in die Gleichung für den Energieerhaltungssatz<br />
des wirklichen Stoßes E2 ¼ E1 DW eingesetzt,<br />
dann erhält man nach einer längeren Entwicklung<br />
die Gleichung für den Energieverlust<br />
DW beim wirklichen Stoß.<br />
F<br />
1. Stoßabschnitt<br />
E > E<br />
1 2<br />
+ + + + + +<br />
v > v<br />
1 2<br />
k ¼ c2 c1<br />
v1 v2<br />
2. Stoßabschnitt<br />
c c < c<br />
1 2<br />
Wärme ΔQ = ΔE<br />
Definitionsgleichung<br />
der Stoßzahl<br />
Stoßzahlen: k ¼ 1 elastischer Stoß<br />
k ¼ 0 unelastischer Stoß<br />
k ¼ 0,35 Stahl bei 1100 C<br />
k ¼ 0,7 Stahl bei 20 C<br />
pffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
rffiffiffiffi<br />
0 ð c1Þ c1 2gh1 h1<br />
k ¼ ¼ ¼ pffiffiffiffiffiffiffi ¼<br />
v1 0 v1 2gh h<br />
rffiffiffiffi<br />
k ¼<br />
h1<br />
h<br />
Die Rückprallgeschwindigkeit c1 der Kugel<br />
ist der Aufprallgeschwindigkeit v1 entgegengerichtet<br />
und muss deshalb mit negativem<br />
Vorzeichen in die Stoßzahlgleichung eingesetzt<br />
werden.<br />
m1v1 þ m2v2 ¼ m1c1 þ m2c2<br />
c2 ¼ kðv1 v2Þþc1 eingesetzt ergibt:<br />
c1 ¼ m1v1 þ m2v2 m2ðv1 v2Þ k<br />
m1 þ m2<br />
c2 ¼ m1v1 þ m2v2 þ m1ðv1 v2Þ k<br />
m1 þ m2<br />
Geschwindigkeiten nach dem wirklichen Stoß<br />
E2 ¼ E1 DW<br />
1<br />
2 ðm1c1 2 þ m2c2 2 Þ¼ 1<br />
2 ðm1v1 2 þ m2v2 2 Þ DW<br />
DW ¼ 1<br />
2<br />
m1m2ðv1 v2Þ 2 ð1 k 2 Þ<br />
m1 þ m2<br />
Energieverlust beim wirklichen Stoß<br />
s