Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

4.8 Gerader zentrischer Stoß 229
Beim wirklichen Stoß verkleinert sich die Relativgeschwindigkeit.
Die Formänderungsarbeit
wird im zweiten Stoßabschnitt nicht vollständig
zurückgegeben, sondern teilweise in Wärme
umgewandelt.
Die für den elastischen Stoß hergeleiteten Gleichungen
lassen sich für den wirklichen Stoß weiterentwickeln,
wenn als Verhältnis der Relativgeschwindigkeiten
die Stoßzahl k eingeführt wird.
Die Stoßzahl k hängt von der Werkstoffpaarung ab
und wird durch Fallversuche ermittelt.
Beim Fallversuch fällt eine Kugel aus dem einen
Werkstoff auf eine festliegende Unterlage aus einem
anderen Werkstoff. Die Geschwindigkeit der
Unterlage vor und nach dem Stoß ist gleich null
(v2 ¼ 0 und c2 ¼ 0). Die Fallhöhe h und die
Rücksprunghöhe h1 werden gemessen. Daraus
wird mit den Gesetzen des freien Falls und des
Wurfs senkrecht nach oben die Stoßzahl k berechnet.
Auch für den wirklichen Stoß gilt der Impulserhaltungssatz
für kräftefreie Systeme. Wird in den Impulserhaltungssatz
die Beziehung für c2 eingesetzt,
die man aus der Definitionsgleichung für die Stoßzahl
entwickeln kann, dann ergibt die weitere Entwicklung
eine Gleichung für die Geschwindigkeit
c1 des Körpers 1 nach dem wirklichen Stoß.
Durch Vertauschen der Indizes erhält man die entsprechende
Gleichung für die Geschwindigkeit c2
des Körpers 2.
Werden die so entwickelten Beziehungen für c1
und c2 in die Gleichung für den Energieerhaltungssatz
des wirklichen Stoßes E2 ¼ E1 DW eingesetzt,
dann erhält man nach einer längeren Entwicklung
die Gleichung für den Energieverlust
DW beim wirklichen Stoß.
F
1. Stoßabschnitt
E > E
1 2
+ + + + + +
v > v
1 2
k ¼ c2 c1
v1 v2
2. Stoßabschnitt
c c < c
1 2
Wärme ΔQ = ΔE
Definitionsgleichung
der Stoßzahl
Stoßzahlen: k ¼ 1 elastischer Stoß
k ¼ 0 unelastischer Stoß
k ¼ 0,35 Stahl bei 1100 C
k ¼ 0,7 Stahl bei 20 C
pffiffiffiffiffiffiffiffiffi
rffiffiffiffi
0 ð c1Þ c1 2gh1 h1
k ¼ ¼ ¼ pffiffiffiffiffiffiffi ¼
v1 0 v1 2gh h
rffiffiffiffi
k ¼
h1
h
Die Rückprallgeschwindigkeit c1 der Kugel
ist der Aufprallgeschwindigkeit v1 entgegengerichtet
und muss deshalb mit negativem
Vorzeichen in die Stoßzahlgleichung eingesetzt
werden.
m1v1 þ m2v2 ¼ m1c1 þ m2c2
c2 ¼ kðv1 v2Þþc1 eingesetzt ergibt:
c1 ¼ m1v1 þ m2v2 m2ðv1 v2Þ k
m1 þ m2
c2 ¼ m1v1 þ m2v2 þ m1ðv1 v2Þ k
m1 þ m2
Geschwindigkeiten nach dem wirklichen Stoß
E2 ¼ E1 DW
1
2 ðm1c1 2 þ m2c2 2 Þ¼ 1
2 ðm1v1 2 þ m2v2 2 Þ DW
DW ¼ 1
2
m1m2ðv1 v2Þ 2 ð1 k 2 Þ
m1 þ m2
Energieverlust beim wirklichen Stoß
s