Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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Da ein „kräftefreies System“ vorausgesetzt wird
(es wirken keine äußeren Kräfte), gilt neben dem
Impulserhaltungssatz auch der Energieerhaltungssatz
(4.7.1, Seite 219).
Beim elastischen Stoß bleibt die Summe der
kinetischen Energien beider Körper bei horizontaler
Bewegung konstant.
Mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes und des
Impulserhaltungssatzes kann man eine weitere
wichtige Beziehung herleiten:
Beim elastischen Stoß wird die Relativgeschwindigkeit
(Differenz der Geschwindigkeiten
v1 und v2) nicht geändert.
Sonderfälle des geraden zentrischen Stoßes elastischer
Körper:
Beim elastischen Stoß zweier Körper mit
gleichen Massen tauschen die Körper ihre
Geschwindigkeiten aus.
Beim elastischen Stoß eines Körpers gegen
eine starre Wand, prallt er mit gleicher Geschwindigkeit
zurück.
Beim elastischen Stoß eines Körpers sehr großer
Masse m1 gegen einen ruhenden Körper
kleiner Masse m2 erhält der ruhende Körper die
doppelte Geschwindigkeit des stoßenden Körpers
(c2 ¼ 2v1).
Energieerhaltungssatz für den elastischen
Stoß:
EEnde des Stoßes ¼ EAnfang des Stoßes
1
2 ðm1c1 2 þ m2c2 2 Þ¼ 1
2 ðm1v1 2 þ m2v2 2 Þ
Der umgeformte Energieerhaltungssatz wird
durch den Impulserhaltungssatz dividiert:
m1ðv1 2 c1 2Þ m1ðv1 c1Þ ¼ m2ðc2 2 v2 2Þ m2ðc2 v2Þ
v1 þ c1 ¼ c2 þ v2
v1 v2 ¼ c2 c1
Aus der Gleichung von Seite 225:
c1 ¼ ðm1 m2Þ v1 þ 2m2 v2
m1 þ m2
ergibt sich mit m1 ¼ m2 ¼ m:
c1 ¼ ðm mÞ v1 þ 2mv2
m þ m
c1 ¼ 2mv2
2m ¼ v2 und analog c2 ¼ v1
m2 ¼1; v2 ¼ 0; m1 vernachlässigt
c1 ¼ m2 v1 þ 2m2
m2
0
¼ v1
c1 ¼ v1
m1 > m2; v2 ¼ 0; m2 vernachlässigt
c2 ¼ m1 0 þ 2m1 v1
m1
c2 ¼ 2v1
¼ 2v1
4 Dynamik
Bewegen sich die beiden Körper auf der Stoßnormalen aufeinander zu, so erhalten die
Geschwindigkeiten v1 und v2 und damit auch die Impulse beider Körper entgegengesetzte Vorzeichen
(der Impuls ist ein Vektor). Beim Stoß kehrt dann entweder einer der beiden Körper
seine Bewegungsrichtung um, oder beide.
Auch für diesen Fall gelten für die Geschwindigkeiten c, c1 und c2 die entwickelten Gleichungen.
Man erkennt die Richtungsumkehr eines Körpers daran, dass seine Geschwindigkeit nach
dem Stoß ein anderes Vorzeichen hat als vor dem Stoß.