Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

4.8 Gerader zentrischer Stoß 225
4.8.3 Elastischer Stoß
Elastische Körper verformen sich beim Stoß
federnd. Nach dem Stoß ist die Verformung
vollständig zurückgegangen. Auch die Verluste
infolge äußerer und innerer Reibung werden vernachlässigt.
Zwei Kugeln bewegen sich in gleichem Richtungssinn
auf gemeinsamer Bahn. Stößt die
schnellere Kugel mit der Masse m1 und der
Geschwindigkeit v1 auf die langsamere Kugel mit
der Masse m2 und der Geschwindigkeit v2, so wird
beim Stoß die schnellere Kugel verzögert und die
langsamere Kugel beschleunigt.
Zur Berechnung der Geschwindigkeiten c1, c2
beider Kugeln nach dem Stoß wird der gesamte
Stoßvorgang in zwei Abschnitte unterteilt.
Erster Stoßabschnitt (Zusammendrücken)
Er beginnt mit der Berührung der Kugeln und
endet, wenn ihr Abstand ein Minimum (lmin)
geworden ist (siehe F; s-Diagramm). Dabei verformen
sich die Kugeln. Die Formänderungsarbeit
W1 wird der kinetischen Energie der schnelleren
Kugel entzogen.
Am Ende des ersten Stoßabschnitts besitzen beide
Kugeln dieselbe Geschwindigkeit c.
Zweiter Stoßabschnitt (Entspannen)
Er beginnt beim Abstandsminimum lmin der Kugelmittelpunkte
und endet mit der Trennung der
Kugeln. Dabei wird die durch die Abplattung der
Kugeln gespeicherte Spannungsenergie verlustlos
an die Kugel 2 abgegeben (E2 ¼ E1). Kugel 1
ändert dabei ihre Geschwindigkeit von c auf c1
und Kugel 2 von c auf c2.
Beim Entspannen wirkt auf beide Kugeln der gleiche
Kraftstoß wie beim Zusammendrücken. Folglich
ist für jede der beiden Kugeln die Geschwindigkeitsänderung
in beiden Stoßabschnitten gleich
groß: v1 c ¼ c c1 und c v2 ¼ c2 c. Aus
dieser Erkenntnis kann eine Gleichung für die
Geschwindigkeit c1 der Kugel 1 nach dem Stoß
entwickelt werden; in gleicher Weise erhält man
die entsprechende Gleichung für die Kugel 2.
Merkmale des elastischen Stoßes:
Keine bleibende Formänderung nach dem
Stoß, vollständige Trennung der Körper voneinander
nach dem Stoß, verlustfreier Energieaustausch.
Nach dem Impulserhaltungssatz bleibt die
Summe der Impulse (Bewegungsgrößen)
konstant:
vor dem nach dem ersten
Stoß
zfflfflfflfflfflfflfflffl}|fflfflfflfflfflfflfflffl{
¼
Stoßabschnitt
zfflfflfflfflfflffl}|fflfflfflfflfflffl{
m1c þ m2c
m1v1 þ m2v2
c ¼ m1v1 þ m2v2
m1 þ m2
Für Kugel 1 gilt:
v1 c ¼ c c1 daraus folgt:
c1 ¼ 2c v1 ¼ 2 m1v1 þ m2v2
m1 þ m2
Geschwindigkeit
beider Körper am
Ende des ersten
Stoßabschnitts
v1
¼ 2ðm1v1 þ m2v2Þ ðm1 þ m2Þ v1
m1 þ m2
¼ m1v1 þ 2m2v2 m2v1
m1 þ m2
¼ ðm1 m2Þ v1 þ 2m2v2
m1 þ m2
c1 ¼ ðm1 m2Þ v1 þ 2m2v2
m1 þ m2
c2 ¼ ðm2 m1Þ v2 þ 2m1v1
m1 þ m2
Geschwindigkeiten beider Körper
nach dem Stoß