Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
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224 4.8 Gerader zentrischer Stoß 4.8.1 Stoßbegriff, Kräfte und Geschwindigkeiten beim Stoß Der physikalische Vorgang Stoß liegt dann vor, wenn sich zwei Körper während eines sehr kleinen Zeitabschnitts Dt berühren und dabei ihren Bewegungszustand ändern. Bei Berührung wirken an den Berührungsflächen gleich große Normalkräfte (Wechselwirkungsgesetz). Während der Berührungszeit Dt erfahren also beide Körper den gleichen Kraftstoß F Dt (siehe 4.4.9, Seite 202). Dadurch verringert sich der Impuls mv des einen Körpers um denselben Betrag, um den der Impuls des anderen Körpers zunimmt, und man erkennt: Die Summe der Impulse (Bewegungsgrößen) beider Körper bleibt in jedem Augenblick des Stoßes konstant. Da die Massen beider Körper unverändert bleiben, bedeutet das, dass die Geschwindigkeit des einen Körpers kleiner, die des anderen größer wird. 4.8.2 Merkmale des geraden zentrischen Stoßes Durch den Berührungspunkt beider Körper bei Stoßbeginn legt man die Tangentialebene und errichtet darauf im Berührungspunkt eine Normale, die Stoßnormale. Sie ist die Wirklinie der beiden Normalkräfte, die während des Stoßes zwischen beiden Körpern wirken. Verläuft die Stoßnormale durch die Schwerpunkte beider Körper, dann spricht man von zentrischem Stoß. Wird diese Bedingung nicht erfüllt, dann liegt exzentrischer Stoß vor. Liegen die Geschwindigkeitsvektoren v1 und v2 beider Körper beim Stoßbeginn parallel zur Stoßnormalen, dann spricht man von geradem Stoß. Bewegt sich einer der Körper oder auch beide nicht parallel zur Stoßnormalen, dann liegt schiefer Stoß vor. Beim geraden zentrischen Stoß verläuft die Stoßnormale durch beide Körperschwerpunkte. Beide Körper bewegen sich in Richtung der Stoßnormalen. Beachte: Ønderung des Bewegungszustandes heißt Ønderung der Geschwindigkeit der Körper nach Betrag oder Richtung oder auch nach beiden gleichzeitig. Beachte: Werden die beiden Körper als ein System betrachtet, dann sind die Normalkräfte beim Stoß innere Kräfte dieses Systems. Da während des Stoßes keine äußeren Kräfte auf die beiden Körper wirken, handelt es sich um ein kräftefreies System nach 4.4.9, dessen gesamter Impuls auch während des Stoßes konstant bleibt. m1v1 þ m2v2 ¼ m1c1 þ m2c2 Smv ¼ Smc Impulserhaltungssatz für zwei Körper m1, m2 Massen beider Körper v1, v2 Geschwindigkeiten vor dem Stoß Geschwindigkeiten nach dem Stoß c1, c2 4 Dynamik Beachte: Die Lage der Normalkräfte im Berührungspunkt bestimmt, ob zentrischer oder exzentrischer Stoß vorliegt. Beachte: Die Richtung der Geschwindigkeiten v1 und v2 bestimmt, ob gerader oder schiefer Stoß vorliegt. Beispiel für geraden zentrischen Stoß: Zusammenstoß von Kegelkugeln auf der Rücklaufbahn. Eine weitere Unterteilung der Stoßarten ist notwendig durch das unterschiedliche Verformungsverhalten der Körper: Man unterscheidet elastischen, unelastischen und wirklichen Stoß.
4.8 Gerader zentrischer Stoß 225 4.8.3 Elastischer Stoß Elastische Körper verformen sich beim Stoß federnd. Nach dem Stoß ist die Verformung vollständig zurückgegangen. Auch die Verluste infolge äußerer und innerer Reibung werden vernachlässigt. Zwei Kugeln bewegen sich in gleichem Richtungssinn auf gemeinsamer Bahn. Stößt die schnellere Kugel mit der Masse m1 und der Geschwindigkeit v1 auf die langsamere Kugel mit der Masse m2 und der Geschwindigkeit v2, so wird beim Stoß die schnellere Kugel verzögert und die langsamere Kugel beschleunigt. Zur Berechnung der Geschwindigkeiten c1, c2 beider Kugeln nach dem Stoß wird der gesamte Stoßvorgang in zwei Abschnitte unterteilt. Erster Stoßabschnitt (Zusammendrücken) Er beginnt mit der Berührung der Kugeln und endet, wenn ihr Abstand ein Minimum (lmin) geworden ist (siehe F; s-Diagramm). Dabei verformen sich die Kugeln. Die Formänderungsarbeit W1 wird der kinetischen Energie der schnelleren Kugel entzogen. Am Ende des ersten Stoßabschnitts besitzen beide Kugeln dieselbe Geschwindigkeit c. Zweiter Stoßabschnitt (Entspannen) Er beginnt beim Abstandsminimum lmin der Kugelmittelpunkte und endet mit der Trennung der Kugeln. Dabei wird die durch die Abplattung der Kugeln gespeicherte Spannungsenergie verlustlos an die Kugel 2 abgegeben (E2 ¼ E1). Kugel 1 ändert dabei ihre Geschwindigkeit von c auf c1 und Kugel 2 von c auf c2. Beim Entspannen wirkt auf beide Kugeln der gleiche Kraftstoß wie beim Zusammendrücken. Folglich ist für jede der beiden Kugeln die Geschwindigkeitsänderung in beiden Stoßabschnitten gleich groß: v1 c ¼ c c1 und c v2 ¼ c2 c. Aus dieser Erkenntnis kann eine Gleichung für die Geschwindigkeit c1 der Kugel 1 nach dem Stoß entwickelt werden; in gleicher Weise erhält man die entsprechende Gleichung für die Kugel 2. Merkmale des elastischen Stoßes: Keine bleibende Formänderung nach dem Stoß, vollständige Trennung der Körper voneinander nach dem Stoß, verlustfreier Energieaustausch. Nach dem Impulserhaltungssatz bleibt die Summe der Impulse (Bewegungsgrößen) konstant: vor dem nach dem ersten Stoß zfflfflfflfflfflfflfflffl}|fflfflfflfflfflfflfflffl{ ¼ Stoßabschnitt zfflfflfflfflfflffl}|fflfflfflfflfflffl{ m1c þ m2c m1v1 þ m2v2 c ¼ m1v1 þ m2v2 m1 þ m2 Für Kugel 1 gilt: v1 c ¼ c c1 daraus folgt: c1 ¼ 2c v1 ¼ 2 m1v1 þ m2v2 m1 þ m2 Geschwindigkeit beider Körper am Ende des ersten Stoßabschnitts v1 ¼ 2ðm1v1 þ m2v2Þ ðm1 þ m2Þ v1 m1 þ m2 ¼ m1v1 þ 2m2v2 m2v1 m1 þ m2 ¼ ðm1 m2Þ v1 þ 2m2v2 m1 þ m2 c1 ¼ ðm1 m2Þ v1 þ 2m2v2 m1 þ m2 c2 ¼ ðm2 m1Þ v2 þ 2m1v1 m1 þ m2 Geschwindigkeiten beider Körper nach dem Stoß
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4.8 Gerader zentrischer Stoß<br />
4.8.1 Stoßbegriff, Kräfte und Geschwindigkeiten beim Stoß<br />
Der physikalische Vorgang Stoß liegt dann vor,<br />
wenn sich zwei Körper während eines sehr kleinen<br />
Zeitabschnitts Dt berühren und dabei ihren Bewegungszustand<br />
ändern.<br />
Bei Berührung wirken an den Berührungsflächen<br />
gleich große Normalkräfte (Wechselwirkungsgesetz).<br />
Während der Berührungszeit Dt erfahren<br />
also beide Körper den gleichen Kraftstoß F Dt<br />
(siehe 4.4.9, Seite 202). Dadurch verringert sich<br />
der Impuls mv des einen Körpers um denselben<br />
Betrag, um den der Impuls des anderen Körpers<br />
zunimmt, und man erkennt:<br />
Die Summe der Impulse (Bewegungsgrößen)<br />
beider Körper bleibt in jedem Augenblick des<br />
Stoßes konstant.<br />
Da die Massen beider Körper unverändert bleiben,<br />
bedeutet das, dass die Geschwindigkeit des einen<br />
Körpers kleiner, die des anderen größer wird.<br />
4.8.2 Merkmale des geraden zentrischen Stoßes<br />
Durch den Berührungspunkt beider Körper bei<br />
Stoßbeginn legt man die Tangentialebene und errichtet<br />
darauf im Berührungspunkt eine Normale,<br />
die Stoßnormale. Sie ist die Wirklinie der beiden<br />
Normalkräfte, die während des Stoßes zwischen<br />
beiden Körpern wirken.<br />
Verläuft die Stoßnormale durch die Schwerpunkte<br />
beider Körper, dann spricht man von zentrischem<br />
Stoß. Wird diese Bedingung nicht erfüllt, dann<br />
liegt exzentrischer Stoß vor.<br />
Liegen die Geschwindigkeitsvektoren v1 und v2<br />
beider Körper beim Stoßbeginn parallel zur Stoßnormalen,<br />
dann spricht man von geradem Stoß.<br />
Bewegt sich einer der Körper oder auch beide<br />
nicht parallel zur Stoßnormalen, dann liegt schiefer<br />
Stoß vor.<br />
Beim geraden zentrischen Stoß verläuft die<br />
Stoßnormale durch beide Körperschwerpunkte.<br />
Beide Körper bewegen sich in Richtung der<br />
Stoßnormalen.<br />
Beachte: Ønderung des Bewegungszustandes<br />
heißt Ønderung der Geschwindigkeit der<br />
Körper nach Betrag oder Richtung oder auch<br />
nach beiden gleichzeitig.<br />
Beachte: Werden die beiden Körper als ein<br />
System betrachtet, dann sind die Normalkräfte<br />
beim Stoß innere Kräfte dieses Systems.<br />
Da während des Stoßes keine äußeren Kräfte<br />
auf die beiden Körper wirken, handelt es sich<br />
um ein kräftefreies System nach 4.4.9, dessen<br />
gesamter Impuls auch während des Stoßes<br />
konstant bleibt.<br />
m1v1 þ m2v2 ¼ m1c1 þ m2c2<br />
Smv ¼ Smc<br />
Impulserhaltungssatz<br />
für zwei Körper<br />
m1, m2 Massen beider Körper<br />
v1, v2 Geschwindigkeiten vor dem Stoß<br />
Geschwindigkeiten nach dem Stoß<br />
c1, c2<br />
4 Dynamik<br />
Beachte: Die Lage der Normalkräfte im<br />
Berührungspunkt bestimmt, ob zentrischer<br />
oder exzentrischer Stoß vorliegt.<br />
Beachte: Die Richtung der Geschwindigkeiten<br />
v1 und v2 bestimmt, ob gerader oder<br />
schiefer Stoß vorliegt.<br />
Beispiel für geraden zentrischen Stoß:<br />
Zusammenstoß von Kegelkugeln auf der<br />
Rücklaufbahn.<br />
Eine weitere Unterteilung der Stoßarten ist<br />
notwendig durch das unterschiedliche Verformungsverhalten<br />
der Körper: Man unterscheidet<br />
elastischen, unelastischen und wirklichen<br />
Stoß.