Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
Alfred Böge Technische Mechanik - PP99 Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
222 4.7.6 Ûbungen zum Energieerhaltungssatz 1. Ûbung: Ein Waggon von der Masse m ¼ 40000 kg rollt aus der Geschwindigkeit v ¼ 1,8 m/s auf horizontaler Bahn aus. Dabei wirkt ein Fahrwiderstand Fw ¼ 280 N. Wie lang ist der Ausrollweg s? Lösung: Am Ende des Vorgangs ruht der Körper auf der Bezugsebene, das heißt, seine Endenergie ist null (EE ¼ 0). Am Anfang des Vorgangs besitzt er die kinetische Energie EA ¼ mv 2 =2. Zwischen Anfang und Ende des Vorgangs wird die Arbeit des Fahrwiderstands W ab ¼ F w s abgeführt. Aus dem Energieerhaltungssatz findet man damit auf einfache Weise die gesuchte Gleichung und den Betrag für den Ausrollweg s. 2. Ûbung: Die Skizze zeigt das Schema einer Sackrutsche. Die Reibungszahl zwischen Sack und Rutsche soll m ¼ 0,3 betragen. Gesucht ist die Endgeschwindigkeit v des Sackes am Ende der schiefen Ebene. Lösung: Man geht wieder vom Energieerhaltungssatz aus: Die Energie am Ende des Vorgangs kann nur kinetische Energie sein, denn der Körper besitzt dort die Geschwindigkeit v, und der Höhenunterschied zur Bezugsebene BE ist null geworden (Epot ¼ 0). Am Anfang besaß der Körper nur potenzielle Energie, denn er ruhte in der Höheh. Abgeführt wird nur die Reibungsarbeit WR ¼ FRs. Für die Reibungskraft wird FR ¼ FNm und für die Normalkraft FN ¼ FG cos a ¼ mgcos a eingesetzt. Gegeben: m ¼ 40000 kg v ¼ 1,8 m s Fw ¼ 280 N Gesucht: Ausrollweg s EE ¼ EA Wab 0 ¼ m 2 v2 s ¼ mv2 2Fw Fws s ¼ f ðm; v; FwÞ 40 000 kg 3,24 s ¼ m2 s2 kg m 2 280 s2 ¼ 231,4 m EE ¼ EA Wab kinetische Energie ¼ potenzielle Energie Reibungsarbeit Ekin ¼ Epot WR m 2 v2 m 2 v2 v 2 2 4 Dynamik ¼ mgh FR s ¼ mgh mgcos amsj : m ¼ gh gms cos a
4.7 Energie 223 Da der Weg s nicht gegeben ist, wird s ¼ l= cos a eingesetzt (l ist gegeben). Dadurch kürzt sich auch cos a heraus und man findet die einfachste Gleichung für die Endgeschwindigkeit v ¼ f ðg; h; m; lÞ. Man erkennt, dass die erreichbare Endgeschwindigkeit des Sackes unabhängig von seiner Masse m ist. Das gilt für alle auf einer schiefen Ebene ohne zusätzliche äußere Kraftwirkung gleitenden Körper. 3. Ûbung: Welcher Hubarbeit Wh oder potenziellen Energie Epot oder Wärme (Wärmemenge) Q entspricht die kinetische Energie eines Autos von 1500 kg Masse, das mit 160 km/h fährt? Lösung: a) Die kinetische Energie eines Fahrzeuges wächst mit dem Quadrat seiner Geschwindigkeit. Eine Verdoppelung der Fahrzeuggeschwindigkeit hat also eine Erhöhung der kinetischen Energie auf das Vierfache zur Folge. b) Eine Vorstellung von den Folgen eines Aufpralls aus dieser Geschwindigkeit erhält man, wenn die Fallhöhe h berechnet wird, die dieser Energie entspricht. c) Da Ekin auch gleich der Wärme Q ist, kann man eine entsprechende wärmetechnische Rechnung durchführen. Die Wärme Q zum Erwärmen eines Stoffes ist gleich dem Produkt von Masse m, spezifischer Wärmekapazität c und Temperaturdifferenz DT (siehe Böge/Eichler, Physik): Die kinetische Energie des Autos würde ausreichen (bei h ¼ 1), die Temperatur von 10 kg Wasser (10 l) umDT ¼ 35,4 K zu erhöhen. Aufgaben Nr. 561–576 v2 ¼ gh gm 2 v 2 ¼ 2gðh mlÞ v ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 2gðh mlÞ l cos a cos a v ¼ f ðg, h, m, lÞ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi v ¼ 2 9,81 m r ð2 m 0,3 6mÞ s2 v ¼ 1,98 m s Gegeben: m ¼ 1500 kg v ¼ 160 km 160 m ¼ h 3,6 s Gesucht: Ekin Ekin ¼ m 2 v2 1 500 kg ¼ 2 160 3,6 2 m 2 Ekin ¼ 1 481 481,5 Nm ¼ 1 481 481,5 J Ekin ¼ Epot ¼ Wh ¼ Q ¼ 1 481 481,5 J Ekin ¼ Epot ¼ mgh h ¼ Ekin mg ¼ kg m2 1 481 481,5 s2 1 500 kg 9,81 m s2 ¼ 100,67 m Q ¼ mcDT DT ¼ Q mc ¼ 1 481 481,5 J J 10 kg 4 186,8 kg K DT ¼ 35,4 K ¼ 35,4 C s 2 Q m c DT J ¼ Nm kg J kg K K
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4.7.6 Ûbungen zum Energieerhaltungssatz<br />
1. Ûbung: Ein Waggon von der Masse<br />
m ¼ 40000 kg rollt aus der Geschwindigkeit<br />
v ¼ 1,8 m/s auf horizontaler Bahn aus. Dabei<br />
wirkt ein Fahrwiderstand Fw ¼ 280 N.<br />
Wie lang ist der Ausrollweg s?<br />
Lösung: Am Ende des Vorgangs ruht der Körper<br />
auf der Bezugsebene, das heißt, seine Endenergie<br />
ist null (EE ¼ 0).<br />
Am Anfang des Vorgangs besitzt er die kinetische<br />
Energie EA ¼ mv 2 =2.<br />
Zwischen Anfang und Ende des Vorgangs wird die<br />
Arbeit des Fahrwiderstands W ab ¼ F w s abgeführt.<br />
Aus dem Energieerhaltungssatz findet man damit<br />
auf einfache Weise die gesuchte Gleichung und<br />
den Betrag für den Ausrollweg s.<br />
2. Ûbung: Die Skizze zeigt das Schema einer<br />
Sackrutsche. Die Reibungszahl zwischen Sack und<br />
Rutsche soll m ¼ 0,3 betragen.<br />
Gesucht ist die Endgeschwindigkeit v des Sackes<br />
am Ende der schiefen Ebene.<br />
Lösung: Man geht wieder vom Energieerhaltungssatz<br />
aus: Die Energie am Ende des Vorgangs kann<br />
nur kinetische Energie sein, denn der Körper besitzt<br />
dort die Geschwindigkeit v, und der Höhenunterschied<br />
zur Bezugsebene BE ist null geworden<br />
(Epot ¼ 0). Am Anfang besaß der Körper nur<br />
potenzielle Energie, denn er ruhte in der Höheh. Abgeführt<br />
wird nur die Reibungsarbeit WR ¼ FRs. Für<br />
die Reibungskraft wird FR ¼ FNm und für die Normalkraft<br />
FN ¼ FG cos a ¼ mgcos a eingesetzt.<br />
Gegeben: m ¼ 40000 kg<br />
v ¼ 1,8 m<br />
s<br />
Fw ¼ 280 N<br />
Gesucht: Ausrollweg s<br />
EE ¼ EA Wab<br />
0 ¼ m<br />
2 v2<br />
s ¼ mv2<br />
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Fws<br />
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40 000 kg 3,24<br />
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2 280<br />
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Ekin ¼ Epot WR<br />
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2 v2<br />
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¼ mgh FR s<br />
¼ mgh mgcos amsj : m<br />
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