Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

4.5 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad 205
Das ist eine wichtige Erkenntnis, denn es ist jetzt
möglich auch die Arbeit W einer veränderlichen
Kraft F zu berechnen. Das entspricht dem Vorgehen
zur Bestimmung des Wegabschnitts bei
der gleichmäßig beschleunigten Bewegung im
v, t-Diagramm. Man zerlegt in solchen Fällen die
Gesamtfläche in berechenbare Teilflächen (Rechtecke,
Trapeze, Dreiecke) und erhält die Gesamtarbeit
als Summe der Teilarbeiten.
F 1
Kraft F
s 1
A 1
F-Linie
A 2
A 3
A 4
Arbeit W =
A +A +A +A
1 2 3 4
s2 s3 s4 Gesamtweg
F 2
Weg s
F, s-Diagramm einer veränderlichen Kraft F
4.5.3 Federarbeit Wf (Formänderungsarbeit) als Arbeit einer veränderlichen Kraft
Wichtigstes Beispiel für die Arbeit einer veränderlichen
Kraft ist die zur Formänderung einer Feder
aufzubringende Arbeit Wf (Federkraft). Bei den
meisten Federn steigt die zur Formänderung erforderliche
Kraft von null gleichmäßig (linear) an.
Die Kraftlinie ist eine ansteigende Gerade; sie
heißt auch Federkennlinie. Angenommen, eine
schon vorgespannte Schraubenzugfeder soll um
Ds verlängert werden. Dann steigt die dazu
erforderliche Zugkraft von F1 auf F2 an. Die
Fläche unter der Federkennlinie hat Trapezform,
das heißt, die Federarbeit kann aus
Wf ¼ðF1 þ F2Þ Ds=2 berechnet werden.
Meistens ist die Federrate R der Feder bekannt,
oder sie wird durch einen Versuch bestimmt1) :
Die Federrate R gibt an, welche Kraft F für
einen Federweg s ¼ 1 mm erforderlich ist.
Formal exakter: Die Federrate ist im elastischen
Bereich der Proportionalitätsfaktor zwischen
Federkraft F und Federweg (Verformungsweg)
s einer Feder: F ¼ Rs.
Mit der Federrate R ¼ F1=s1 ¼ F2=s2 und daraus
F1 ¼ Rs1 sowie F2 ¼ Rs2 kann man eine Gleichung
für die Federarbeit Wf entwickeln, in der
nur die Federrate R und die Federwege s1, s2 enthalten
sind. Wie die Entwicklung zeigt, ergibt sich
das Binom ðs2 þ s1Þðs2 s1Þ ¼s2 2
s1 2 .
ΔF
F 1
Federkraft F
a
s 1
F = 0
0
F-Linie
s 2
A=W f
F 1
Δs
F 2
Federweg s
Federarbeit (Formänderungsarbeit) Wf beim
Spannen einer Schraubenzugfeder
Federkraft F
R ¼
Federweg s
R ¼ DF
Ds
¼ F1
s1
Wf ¼ F1 þ F2
2
¼ F2
¼ ...
s2
Federrate 2)
Ds Federarbeit
Wf ¼ Rs1 þ Rs2
ðs2
2
s1Þ
Wf ¼ R
2 ðs2 þ s1Þðs2 s1Þ
R F s
1) Versuch in A. Böge; J. Eichler: Physik: Grundlagen, Versuche, Aufgaben, Lösungen, ViewegþTeubner 2008
2) Bezeichnung Federrate R nach DIN 2089, Nov. 92
N
mm
N mm
F 2