Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation) 201
Lösung: Die Lageskizze enthält alle am Körper
angreifenden Kräfte einschließlich der Trägheitskraft
T ¼ mamax. DaderKörper nach rechts oben
beschleunigt wird, wirkt die Trägheitskraft T nach
links unten. Die Haftreibungskraft FR0 max nimmt
den Körper nach oben mit. Sie muss also den entsprechenden
Richtungssinn erhalten.
Nach der Lageskizze werden die beiden Gleichgewichtsbedingungen
für das zentrale Kräftesystem
angesetzt. Aus SFy ¼ 0 findet man die Beziehung
für die Normalkraft FN, für FG wird wie üblich das
Produkt aus Masse m und Fallbeschleunigung g
eingesetzt, ebenso für T ¼ mamax. Damit erhält
man die gesuchte Gleichung und kann amax berechnen.
Bisher wurden die Aufgaben mit Hilfe der rechnerischen
(analytischen) Gleichgewichtsbedingungen
gelöst. Natürlich kann diese Aufgabe auch
trigonometrisch gelöst werden.
Man beginnt die Krafteckskizze mit FN und
FR0 max, die man zu Fe zusammensetzt, um damit
das geschlossene Krafteck aus Fe, T und FG zu
zeichnen.
Nun wird der Sinussatz angesetzt und dabei beachtet,
dass man für sin ð90 r0Þ den Funktionswert
cos r0 einsetzen kann.
Die Gewichtskraft FG wird durch FG ¼ mg
ausgedrückt, ebenso die Trägheitskraft T durch
T ¼ mamax. Die Gleichung wird durch die Masse
m dividiert und nach amax aufgelöst.
Die Rechnung führt zum gleichen Ergebnis, obwohl
die Gleichung eine andere Form besitzt. Es
wird hier gezeigt, wie die erste Gleichung in die
zweite überführt werden kann. Dazu ersetzt man
zunächst die Haftreibungszahl m0 durch den Tangens
des Reibungswinkels. Zur Vereinfachung
schreibt man amax ¼ a.
Lageskizze
1.–3. Schritt
SFx ¼ 0 ¼ FR0 max FG sin a
4. Schritt
T
SFy ¼ 0 ¼ FN FG cos a ) FN ¼ FG cos a
FR0 max ¼ FN m0 ¼ FG cos am0 ¼ mgm0 cos a
SFx ¼ 0 ¼ mgm 0 cos a mgsin a mamax
amax ¼ gðm 0 cos a sin aÞ amax ¼ 0,33 m
s 2
a ¼ f ða, m 0 , gÞ
T
sin ðr 0
Krafteckskizze
FG
aÞ ¼
sin ð90 r0Þ mamax mg
¼
sin ðr0 aÞ cos r0 amax ¼ g sin ðr0 aÞ
cos r0 : m
amax ¼ f ða, r0 , gÞ
a ¼ gðm0 cos a sin aÞ
m 0 ¼ tan r 0 ¼ sin r 0
cos r 0
a ¼ g
sin r0 cos a sin a
cos r0 ¼ FG
cos r 0
amax ¼ 0,33 m
s 2