Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation) 199
2. Ûbung: Auf einer schiefen Ebene mit dem
Neigungswinkel a ¼ 30 zur Horizontalen liegt
ein Körper von der Masse m1. Ûber Seil und Rolle
ist er mit einem zweiten Körper von der Masse
m2 ¼ 1,5m1 verbunden. Die Reibungszahl beträgt
m ¼ 0,2. Rolle und Seil sind masselos und reibungsfrei
gedacht.
Mit welcher Beschleunigung a bewegen sich die
beiden Körper?
Lösung: Man schneidet das Seil gedanklich durch
und fertigt für beide Körper die Lageskizze an. Da
Seil und Rolle masselos und reibungsfrei sein
sollen, muss die Seilkraft F an jeder Stelle des
Seils gleich groß sein; man braucht also nicht
zwischen F1 und F2 zu unterscheiden.
Aus der zweiten Gleichgewichtsbedingung
SFy ¼ 0 für Körper 1 folgt FN ¼ FG1 cos a.
Diesen Ausdruck braucht man für die Reibungskraft
FR ¼ FN m ¼ FG1 cos am in der Gleichgewichtsbedingung
SFx ¼ 0, die nach F auflöst
wird. Für FG1 setzt man m1g ein, für die Trägheitskraft
T1 ¼ m1a.
Für den Körper 2 ist nur die Gleichgewichtsbedingung
SFy ¼ 0 anzusetzen. Daraus findet man eine
zweite Gleichung für die Seilkraft F.
Zum Schluss werden beide Gleichungen für die
Seilkraft F einander gleich gesetzt. Als Vereinfachung
bietet sich hier an, mit dem Verhältnis der
beiden Massen zu arbeiten. Man setzt also
k ¼ m2/m1 und löst die Gleichung nach der gesuchten
Beschleunigung a auf.
Gegeben: m1
Gesucht: a ¼ f ðm, m, a, gÞ
m2 ¼ 1,5m1
a ¼ 30
m ¼ 0,2
g ¼ 9,81 m
s 2
1.–3. Schritt
Lageskizze Lageskizze
für Körper 1 für Körper 2
SFx ¼ 0 ¼ F FR FG1 sin a T1
4. Schritt
SFy ¼ 0 ¼ FN FG1 cos a ) FN ¼ FG1 cos a
F ¼ FR þ FG1 sin a þ T1 ¼ FN m þ FG1 sin a þ T1
F ¼ FG1 cos amþ FG1 sin a þ T1
F ¼ m1gm cos a þ m1g sin a þ m1a
F ¼ m1ðgm cos a þ g sin a þ aÞ
SFy ¼ 0 ¼ F þ T2 FG2; T2 ¼ m2a
F ¼ m2 g m2 a ¼ m2ðg aÞ
m1ðgm cos a þ g sin a þ aÞ ¼m2ðg aÞ
m2 gm cos a þ g sin a þ a
¼ ¼ k
m1 g a
kg ka ¼ gð m cos a þ sin aÞþa
að1 þ kÞ ¼gðk m cos a sin aÞ
k
a ¼ g
m cos a
k þ 1
sin a
a ¼ f ðk, g, m, aÞ