Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
Alfred Böge Technische Mechanik - PP99 Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
196 Nach dem dynamischen Grundgesetz wird jeder Körper in Pfeilrichtung der resultierenden Kraft beschleunigt. Fres ist also ausschließlich dazu erforderlich, die dem Körper innewohnende Trägheit zu überwinden. Die Trägheit äußert sich als eine Kraft, die sich der Beschleunigung widersetzt. Diese Trägheitskraft T ist immer genauso groß wie Fres, aber von entgegengesetztem Richtungssinn. Wächst Fres (Beschleunigung a wird größer), dann wächst in gleichem Maß auch die Trägheitskraft T, denn Fres ist nur deshalb aufzubringen, weil T vorhanden ist und umgekehrt. Weil beide Kräfte Fres und T immer gleich groß sind, auf gleicher Wirklinie liegen und entgegengesetzten Richtungssinn haben, muss ihre geometrische Summe gleich null sein. Da der Betrag von Fres nach dem dynamischen Grundgesetz gleich ma ist, darf man auch für die Trägheitskraft T ¼ ma setzen. Resultierende Kraft Fres und Beschleunigung a (Verzögerung) haben immer gleichen Richtungssinn. Die Trägheitskraft T wirkt der resultierenden Kraft Fres entgegen. Folglich gilt auch: Die Trägheitskraft T ist immer der Beschleunigung a (oder Verzögerung a) entgegengesetzt gerichtet. Werden jetzt noch einmal die beiden Kräftepläne betrachtet, dann erkennt man mit d’Alembert: Wird ein Körper beschleunigt (verzögert), so kann man durch Einführung der Trägheitskraft T ¼ ma für den Körper die statischen Gleichgewichtsbedingungen ansetzen, um damit unbekannte Größen zu bestimmen. Hinweis: Man wählt für die Trägheitskraft das Zeichen T, weil es sich nicht um eine äußere Kraft handelt: Der Körper bringt sie „aus sich heraus“ hervor. Die Trägheitskraft T wird durch die Masse m des Körpers hervorgerufen, daher wird sie immer im Körperschwerpunkt S angetragen. Fres T ¼ 0 Trägheitskraft T ¼ ma 4 Dynamik Ist der Richtungssinn der Beschleunigung a (Verzögerung) bekannt, kennt man auch den Richtungssinn von T ¼ ma: entgegengesetzt zu a. Beachte: Mit Hilfe des Prinzips von d’Alembert wird aus einer „Ungleichgewichtsaufgabe“ eine „Gleichgewichtsaufgabe“, die nach den Gesetzen der Statik zeichnerisch oder rechnerisch gelöst werden kann.
4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation) 197 4.4.7 Arbeitsplan zum Prinzip von d’Alembert Körper freimachen (Lageskizze) 1. Schritt Beschleunigungsrichtung eintragen 2. Schritt Trägheitskraft T ¼ ma entgegengesetzt zum Richtungssinn der Beschleunigung eintragen (im Schwerpunkt angreifend) Gleichgewichtsbedingungen der Statik unter Einschluss der Trägheitskraft T ansetzen oder zeichnerische Verfahren anwenden Wie beim Lösen von Aufgaben nach dem dynamischen Grundgesetz kann es erforderlich sein, zusätzlich nach dem Lösungsplan 4.1.5 (Seite 153) die Beschleunigung (Verzögerung) a zu bestimmen. Aufgaben Nr. 495–514 4.4.8 Ûbungen zum Prinzip von d’Alembert 1. Ûbung: Wie groß muss die Anzugskraft F des Lastseiles sein, wenn eine Last von der Masse m ¼ 1000 kg mit der Beschleunigung a ¼ 1,6 m/s2 nach oben befördert werden soll? Lösung: Am Lastschwerpunkt greifen zwei äußere Kräfte an: Die Anzugskraft F im Seil und die Gewichtskraft FG. Im zweiten und dritten Schritt hat man nur darauf zu achten, dass Trägheitskraft T und Beschleunigung a immer entgegengesetzten Richtungssinn erhalten. Im vierten Schritt können entweder die statischen Gleichgewichtsbedingungen ansetzt werden, hier also SFy ¼ 0, oder es wird das geschlossene Krafteck zur zeichnerischen Lösung entwickelt. Hier wird die Funktionsgleichung F ¼ f ðm, a, gÞ aus der rechnerischen Gleichgewichtsbedingung SFy ¼ 0 gewonnen und die zeichnerische Lösung skizziert. Gegeben: m ¼ 1000 kg a ¼ 1,6 m s2 g ¼ 9,81 m s2 Gesucht: F ¼ f ðm, a, gÞ SFy ¼ 0 ¼ F FG T F FG T ¼ 0 F mg ma ¼ 0 F ¼ mðg þ aÞ F ¼ f ðm, a, gÞ 3. Schritt 4. Schritt 1. Schritt 2. Schritt 3. Schritt 4. Schritt F ¼ 1000 kgð9,81 þ 1,6Þ m ¼ 11,41 kN s2
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4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation) 197<br />
4.4.7 Arbeitsplan zum Prinzip von d’Alembert<br />
Körper freimachen (Lageskizze) 1. Schritt<br />
Beschleunigungsrichtung eintragen 2. Schritt<br />
Trägheitskraft T ¼ ma entgegengesetzt zum Richtungssinn der Beschleunigung<br />
eintragen (im Schwerpunkt angreifend)<br />
Gleichgewichtsbedingungen der Statik unter Einschluss der Trägheitskraft T<br />
ansetzen oder zeichnerische Verfahren anwenden<br />
Wie beim Lösen von Aufgaben nach dem dynamischen Grundgesetz kann es erforderlich sein,<br />
zusätzlich nach dem Lösungsplan 4.1.5 (Seite 153) die Beschleunigung (Verzögerung) a zu<br />
bestimmen.<br />
Aufgaben Nr. 495–514<br />
4.4.8 Ûbungen zum Prinzip von d’Alembert<br />
1. Ûbung: Wie groß muss die Anzugskraft F des<br />
Lastseiles sein, wenn eine Last von der Masse<br />
m ¼ 1000 kg mit der Beschleunigung a ¼ 1,6 m/s2 nach oben befördert werden soll?<br />
Lösung: Am Lastschwerpunkt greifen zwei äußere<br />
Kräfte an: Die Anzugskraft F im Seil und die<br />
Gewichtskraft FG.<br />
Im zweiten und dritten Schritt hat man nur darauf<br />
zu achten, dass Trägheitskraft T und Beschleunigung<br />
a immer entgegengesetzten Richtungssinn<br />
erhalten.<br />
Im vierten Schritt können entweder die statischen<br />
Gleichgewichtsbedingungen ansetzt werden, hier<br />
also SFy ¼ 0, oder es wird das geschlossene<br />
Krafteck zur zeichnerischen Lösung entwickelt.<br />
Hier wird die Funktionsgleichung F ¼ f ðm, a, gÞ<br />
aus der rechnerischen Gleichgewichtsbedingung<br />
SFy ¼ 0 gewonnen und die zeichnerische Lösung<br />
skizziert.<br />
Gegeben: m ¼ 1000 kg<br />
a ¼ 1,6 m<br />
s2 g ¼ 9,81 m<br />
s2 Gesucht: F ¼ f ðm, a, gÞ<br />
SFy ¼ 0 ¼ F FG T<br />
F FG T ¼ 0<br />
F mg ma ¼ 0<br />
F ¼ mðg þ aÞ<br />
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3. Schritt<br />
4. Schritt<br />
1. Schritt<br />
2. Schritt<br />
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