Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
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Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

Alfred Böge Technische Mechanik - PP99 Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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194 Nachdem man die Beziehung für die resultierende Kraft Fres gefunden hat, setzt man sie in die Gleichung für das dynamische Grundgesetz ein (kinetischer Teil der Aufgabe): Im zweiten Schritt setzt man Fres mit dem Produkt ma gleich; bei mehreren Teilkörpern gleicher Beschleunigung muss die Gesamtmasse mges eingesetzt werden. In manchen Aufgaben ist die Beschleunigung a nicht direkt gegeben, sondern muss erst aus anderen Größen bestimmt werden (kinematischer Teil der Aufgabe): Im dritten Schritt ermittelt man nach 4.1.5 (Seite 153) eine Beziehung für die Beschleunigung a, wenn sie nicht schon gegeben ist. Zum Schluss braucht man nur noch alle statischen, kinetischen und kinematischen Lösungsansätze algebraisch auszuwerten: Im vierten Schritt bestimmt man aus den entwickelten Gleichungen die unbekannten Größen nach den mathematischen Gesetzen. 3. Ûbung: Ein Kraftfahrzeug von der Masse m ¼ 1000 kg soll auf horizontaler Bahn auf einer Strecke von 100 m bis zum Stillstand abgebremst werden. Die Geschwindigkeit beträgt 72 km/h, der Fahrwiderstand (Summe aller Reibungswiderstände) des Fahrzeugs beträgt Fw ¼ 500 N. Zu bestimmen ist die Bremskraft Fb. Lösung: Man fertigt als Erstes wieder die Skizze des freigemachten Körpers an (Lageskizze): Gewichtskraft FG und Normalkraft FN wirken in y-Richtung (SFy ¼ 0). In x-Richtung werden Bremskraft Fb und Fahrwiderstand Fw nach links wirkend eingetragen. Man nimmt an, dass sich das Fahrzeug von links nach rechts bewegt. Die Verzögerung a ist dann nach links gerichtet, ebenso wie die resultierende Kraft Fres, die sich nach der Kräfteskizze als Summe von Fb und Fw ergeben muss (SFx 6¼ 0). Das Ergebnis des ersten Schrittes ist also Fres ¼ Fb þ Fw. Fres ¼ Fz mg ¼ ma 2. Schritt 3. Schritt In der vorliegenden Aufgabe ist die Beschleunigung a ¼ 0,3 m/s 2 schon bekannt. Fres ¼ ma ¼ Fz mg 4. Schritt Fz ¼ maþ mg ¼ mða þ gÞ Fz ¼ 2000 kg 0,3 m m þ 9,81 s2 s2 kg m Fz ¼ 20 220 ¼ 20,22 kN s2 Gegeben: m ¼ 1000 kg Ds ¼ 100 m v ¼ 72 km h Fw ¼ 500 N Gesucht: Fb (Bremskraft) ¼ 72 3,6 4 Dynamik m m ¼ 20 s s 1. Schritt Lageskizze Kräfteskizze (zwei Möglichkeiten gezeichnet)

4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation) 195 Im zweiten Schritt wird wieder Fres und das Produkt ma gleichgesetzt. Im dritten Schritt hat man hier die Beschleunigung a zu bestimmen (kinematischer Lösungsteil). Dazu wird der schon bekannte Lösungsplan nach 4.1.5, Seite 153 benutzt, der hier verkürzt wiedergegeben wird: v; t-Diagramm, Grundgleichung, Weggleichung, Auswertung der Gleichungen (a ¼ v2 =2 Ds). Es kann die gefundene Gleichung für a in die weitere Rechnung übernommen werden oder es wird der Betrag berechnet. Im letzten Schritt wertet man die entwickelten Gleichungen aus und stellt die Gleichung Fb ¼ f ðm, v, Ds, FwÞ auf, mit der man dann noch den Betrag der Bremskraft berechnet. Vor dem Rechnen sollte immer wieder geprüft werden, ob die Einheiten „stimmen“: Da rechts vom Gleichheitszeichen zwei Glieder stehen, müssen beide die gleiche Einheit führen. Das erste Glied hat die Einheit kg m/s2 ¼ N, die gleiche Einheit wie das zweite Glied. 4.4.6 Prinzip von d’Alembert Das d’Alembert’sche Prinzip führt zu einem Lösungsverfahren für Dynamikaufgaben, das die meisten Techniker dem Ansatz des dynamischen Grundgesetzes vorziehen, weil es auch komplizierteste Aufgaben durchsichtig macht. Der Grundgedanke des d’Alembert’schen Prinzips ist leicht zu erfassen, wenn noch einmal die Kräfteskizzen zu den beiden letzten Ûbungen betrachtet werden. In beiden Fällen erhält man sofort einen geschlossenen Kräftezug, wenn man nur den Richtungssinn der resultierenden Kraft Fres umkehrt. Das ist der Kunstgriff, der die Möglichkeit schafft, die zeichnerischen und rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen auf Dynamikaufgaben anzuwenden. Kurz gesagt: Aus der Dynamikaufgabe wird eine Statikaufgabe gemacht. Man möchte nun noch nachweisen, dass der Richtungssinn von Fres umgekehrt werden darf und welche Bedeutung das hat. Fres ¼ Fb þ Fw ¼ ma a ¼ Dv v v ¼ ) Dt ¼ Dt Dt a v Dt Ds ¼ 2 ¼ v v 2 a v ¼ 2 2a 2 v a ¼ 2 Ds ¼ 20 m 2 s 2 100 m Fb þ Fw ¼ ma Fb þ Fw ¼ m 2 mv Fb ¼ 2 Ds v 2 2 Ds Fw Fb ¼ f ðm, v, Ds, FwÞ 1000 kg 400 Fb ¼ m2 s2 2 100 m ¼ 2 m s 2 Δv =v 2. Schritt 3. Schritt v 0 A= Δs Δt t 4. Schritt 500 N ¼ 1500 N d’Alembert, französischer Gelehrter, 1717–1783. Beachte: Auch das Prinzip von d’Alembert beruht auf dem dynamischen Grundgesetz. a) Kräftepläne zum dynamischen Grundgesetz b) Kräftepläne zum d’Alembert’schen Prinzip (geschlossen)

4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation) 195<br />

Im zweiten Schritt wird wieder Fres und das Produkt<br />

ma gleichgesetzt.<br />

Im dritten Schritt hat man hier die Beschleunigung<br />

a zu bestimmen (kinematischer Lösungsteil). Dazu<br />

wird der schon bekannte Lösungsplan nach 4.1.5,<br />

Seite 153 benutzt, der hier verkürzt wiedergegeben<br />

wird: v; t-Diagramm, Grundgleichung, Weggleichung,<br />

Auswertung der Gleichungen (a ¼<br />

v2 =2 Ds). Es kann die gefundene Gleichung für a<br />

in die weitere Rechnung übernommen werden<br />

oder es wird der Betrag berechnet.<br />

Im letzten Schritt wertet man die entwickelten<br />

Gleichungen aus und stellt die Gleichung<br />

Fb ¼ f ðm, v, Ds, FwÞ auf, mit der man dann noch<br />

den Betrag der Bremskraft berechnet.<br />

Vor dem Rechnen sollte immer wieder geprüft<br />

werden, ob die Einheiten „stimmen“: Da rechts<br />

vom Gleichheitszeichen zwei Glieder stehen, müssen<br />

beide die gleiche Einheit führen. Das erste<br />

Glied hat die Einheit kg m/s2 ¼ N, die gleiche Einheit<br />

wie das zweite Glied.<br />

4.4.6 Prinzip von d’Alembert<br />

Das d’Alembert’sche Prinzip führt zu einem<br />

Lösungsverfahren für Dynamikaufgaben, das die<br />

meisten Techniker dem Ansatz des dynamischen<br />

Grundgesetzes vorziehen, weil es auch komplizierteste<br />

Aufgaben durchsichtig macht.<br />

Der Grundgedanke des d’Alembert’schen Prinzips<br />

ist leicht zu erfassen, wenn noch einmal die Kräfteskizzen<br />

zu den beiden letzten Ûbungen betrachtet<br />

werden. In beiden Fällen erhält man sofort<br />

einen geschlossenen Kräftezug, wenn man nur den<br />

Richtungssinn der resultierenden Kraft Fres umkehrt.<br />

Das ist der Kunstgriff, der die Möglichkeit<br />

schafft, die zeichnerischen und rechnerischen<br />

Gleichgewichtsbedingungen auf Dynamikaufgaben<br />

anzuwenden. Kurz gesagt: Aus der Dynamikaufgabe<br />

wird eine Statikaufgabe gemacht. Man<br />

möchte nun noch nachweisen, dass der Richtungssinn<br />

von Fres umgekehrt werden darf und welche<br />

Bedeutung das hat.<br />

Fres ¼ Fb þ Fw ¼ ma<br />

a ¼ Dv v v<br />

¼ ) Dt ¼<br />

Dt Dt a<br />

v Dt<br />

Ds ¼<br />

2 ¼<br />

v v<br />

2<br />

a v<br />

¼<br />

2 2a<br />

2 v<br />

a ¼<br />

2 Ds ¼<br />

20 m 2<br />

s<br />

2 100 m<br />

Fb þ Fw ¼ ma<br />

Fb þ Fw ¼ m<br />

2 mv<br />

Fb ¼<br />

2 Ds<br />

v 2<br />

2 Ds<br />

Fw<br />

Fb ¼ f ðm, v, Ds, FwÞ<br />

1000 kg 400<br />

Fb ¼<br />

m2<br />

s2 2 100 m<br />

¼ 2 m<br />

s 2<br />

Δv =v<br />

2. Schritt<br />

3. Schritt<br />

v<br />

0<br />

A= Δs<br />

Δt t<br />

4. Schritt<br />

500 N ¼ 1500 N<br />

d’Alembert, französischer Gelehrter,<br />

1717–1783.<br />

Beachte: Auch das Prinzip von d’Alembert<br />

beruht auf dem dynamischen Grundgesetz.<br />

a) Kräftepläne zum dynamischen Grundgesetz<br />

b) Kräftepläne zum d’Alembert’schen Prinzip<br />

(geschlossen)

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