Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

4.3 Gleichmäßig beschleunigte (verzögerte) Drehbewegung 185
Grundgleichung aufschreiben
Ausgangsgleichung ist immer die Definitionsgleichung
für die Winkelbeschleunigung a ¼ Dw=Dt.
Drehwinkelgleichungen aufschreiben
Es ist bekannt, dass die Fläche A unter der w-Linie
dem überstrichenen Drehwinkel Dj entspricht. Je
nach Flächenform (hier Trapez) entwickelt man
mit den eingetragenen Bezeichnungen Gleichungen
mit Dj, zunächst ohne Rücksicht darauf, ob
für die spezielle Aufgabenstellung alle Gleichungen
gebraucht werden. In der Praxis werden
häufig alle Größen der Bewegung verlangt.
Gleichungen auswerten
Grundgleichung und Drehwinkelgleichungen bilden
ein Gleichungssystem mit mehreren Unbekannten.
In der Regel werden zwei Unbekannte
gesucht. Es genügen dann meistens die Grundgleichung
und eine der Drehwinkelgleichungen
zur Lösung.
Angenommen es ist die Funktionsgleichung
Dt ¼ f ðw0, a, DjÞ gesucht. Dann sind w0, a, Dj
gegebene Größen. Der Zeitabschnitt Dt ist die
gesuchte Größe. Wird die Gleichsetzungsmethode
benutzt, kann man sowohl die Grundgleichung als
auch die erste Drehwinkelgleichung nach wt auflösen,
beide Gleichungen gleichsetzen und auf
gewohnte Weise weiterentwickeln.
Als Ergebnis erhält man hier eine gemischtquadratische
Gleichung (siehe Tabelle 4.3, Seite 186).
Die analoge Gleichung wurde in 4.1.5 (Seite 153)
entwickelt.
Aufgaben Nr. 486–493
a ¼ Dw
Dt ¼ wt w0
Dt
2. Schritt
Dj ¼ w0 þ wt
Dt
2
(Trapezfläche)
3. Schritt
Dw Dt
Dj ¼ w0 Dt þ ;
2
Dw ¼ wt w0
(Rechteckfläche þ Dreieckfläche)
Dj ¼ wt Dt
Dw Dt
;
2
Dw ¼ wt w0
(Rechteckfläche Dreieckfläche)
4. Schritt
Hinweis: Lösung nach dem Einsetzungsoder
Gleichsetzungsverfahren.
a ¼ wt w0
Dt ) wt ¼ w0 þ a Dt
(Grundgleichung)
Dj ¼ w0 þ wt
2
2 Dj
Dt ) wt ¼
Dt
(erste Drehwinkelgleichung)
2 Dj
w0 þ a Dt ¼
Dt
w0
2 Dj
2w0 þ a Dt ¼
Dt
Dt
a
ðDtÞ 2 þ 2w0
a Dt
Dt1, 2 ¼ w0
a
Dt ¼ f ðw0, a, DjÞ
2 Dj
¼ 0
a
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 2 Dj
þ
a
w0
a
w0