Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
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Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

Alfred Böge Technische Mechanik - PP99 Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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184 In jedem w, t-Diagramm entspricht die Fläche A unter der Winkelgeschwindigkeitslinie dem überstrichenen Drehwinkel Dj (A ¼b Dj). 4.3.4 Die Tangentialbeschleunigung aT Wird ein Körper drehend mit der Winkelbeschleunigung a bewegt, werden alle Körperpunkte in jedem Augenblick in Richtung der Tangente mit der Tangentialbeschleunigung aT beschleunigt. Wie jede Beschleunigung ist auch aT ein Verhältnis von Geschwindigkeitsänderung und Zeitabschnitt. Hier handelt es sich um die Zunahme der Umfangsgeschwindigkeit Dvu ¼ Dw r. Damit ist über aT ¼ Dvu=Dt ¼ Dw r=Dt ¼ ar die Verbindung zwischen Tangential- und Kreisgröße hergestellt. Das wurde auch schon für vu und w nachgewiesen (Seite 179, 4.2.7). Tangentialgrößen (Umfangsgeschwindigkeit vu und Tangentialbeschleunigung aT) ergeben sich aus den Kreisgrößen durch Multiplikation mit dem Radius r. 4.3.5 Arbeitsplan zur Kreisbewegung (vergleiche mit Abschnitt 4.1.5) w, t-Diagramm aufzeichnen Als Erstes wird geprüft, ob die Bewegung beschleunigt (ansteigende w-Linie) oder verzögert ist (fallende w-Linie), und ob die Bewegung aus dem Ruhezustand heraus erfolgt oder bis zur Ruhestellung verläuft. Danach skizziert man das w, t-Diagramm (unmaßstäblich). Als Beispiel wird eine gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung mit Anfangs-Winkelgeschwindigkeit (w0 6¼ 0) betrachtet. Fläche A ¼b Drehwinkel Dj Gilt für jede Drehbewegung aT ¼ Dvu Dt Δv v 0 aT ¼ ar v Zusammenhang zwischen Tangentialgrößen und Kreisgrößen ¼ Dw r Dt v-Linie A= Δϕ = ¼ ar aT a r m s 2 v0 + vt Δt 2 rad 1 ¼ s2 s2 vt 0 t Δt 4 Dynamik m 1. Schritt

4.3 Gleichmäßig beschleunigte (verzögerte) Drehbewegung 185 Grundgleichung aufschreiben Ausgangsgleichung ist immer die Definitionsgleichung für die Winkelbeschleunigung a ¼ Dw=Dt. Drehwinkelgleichungen aufschreiben Es ist bekannt, dass die Fläche A unter der w-Linie dem überstrichenen Drehwinkel Dj entspricht. Je nach Flächenform (hier Trapez) entwickelt man mit den eingetragenen Bezeichnungen Gleichungen mit Dj, zunächst ohne Rücksicht darauf, ob für die spezielle Aufgabenstellung alle Gleichungen gebraucht werden. In der Praxis werden häufig alle Größen der Bewegung verlangt. Gleichungen auswerten Grundgleichung und Drehwinkelgleichungen bilden ein Gleichungssystem mit mehreren Unbekannten. In der Regel werden zwei Unbekannte gesucht. Es genügen dann meistens die Grundgleichung und eine der Drehwinkelgleichungen zur Lösung. Angenommen es ist die Funktionsgleichung Dt ¼ f ðw0, a, DjÞ gesucht. Dann sind w0, a, Dj gegebene Größen. Der Zeitabschnitt Dt ist die gesuchte Größe. Wird die Gleichsetzungsmethode benutzt, kann man sowohl die Grundgleichung als auch die erste Drehwinkelgleichung nach wt auflösen, beide Gleichungen gleichsetzen und auf gewohnte Weise weiterentwickeln. Als Ergebnis erhält man hier eine gemischtquadratische Gleichung (siehe Tabelle 4.3, Seite 186). Die analoge Gleichung wurde in 4.1.5 (Seite 153) entwickelt. Aufgaben Nr. 486–493 a ¼ Dw Dt ¼ wt w0 Dt 2. Schritt Dj ¼ w0 þ wt Dt 2 (Trapezfläche) 3. Schritt Dw Dt Dj ¼ w0 Dt þ ; 2 Dw ¼ wt w0 (Rechteckfläche þ Dreieckfläche) Dj ¼ wt Dt Dw Dt ; 2 Dw ¼ wt w0 (Rechteckfläche Dreieckfläche) 4. Schritt Hinweis: Lösung nach dem Einsetzungsoder Gleichsetzungsverfahren. a ¼ wt w0 Dt ) wt ¼ w0 þ a Dt (Grundgleichung) Dj ¼ w0 þ wt 2 2 Dj Dt ) wt ¼ Dt (erste Drehwinkelgleichung) 2 Dj w0 þ a Dt ¼ Dt w0 2 Dj 2w0 þ a Dt ¼ Dt Dt a ðDtÞ 2 þ 2w0 a Dt Dt1, 2 ¼ w0 a Dt ¼ f ðw0, a, DjÞ 2 Dj ¼ 0 a rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 Dj þ a w0 a w0

184<br />

In jedem w, t-Diagramm entspricht die Fläche<br />

A unter der Winkelgeschwindigkeitslinie dem<br />

überstrichenen Drehwinkel Dj (A ¼b Dj).<br />

4.3.4 Die Tangentialbeschleunigung aT<br />

Wird ein Körper drehend mit der Winkelbeschleunigung<br />

a bewegt, werden alle Körperpunkte in<br />

jedem Augenblick in Richtung der Tangente mit<br />

der Tangentialbeschleunigung aT beschleunigt.<br />

Wie jede Beschleunigung ist auch aT ein Verhältnis<br />

von Geschwindigkeitsänderung und Zeitabschnitt.<br />

Hier handelt es sich um die Zunahme<br />

der Umfangsgeschwindigkeit Dvu ¼ Dw r. Damit<br />

ist über aT ¼ Dvu=Dt ¼ Dw r=Dt ¼ ar die Verbindung<br />

zwischen Tangential- und Kreisgröße hergestellt.<br />

Das wurde auch schon für vu und w nachgewiesen<br />

(Seite 179, 4.2.7).<br />

Tangentialgrößen (Umfangsgeschwindigkeit vu<br />

und Tangentialbeschleunigung aT) ergeben sich<br />

aus den Kreisgrößen durch Multiplikation mit<br />

dem Radius r.<br />

4.3.5 Arbeitsplan zur Kreisbewegung<br />

(vergleiche mit Abschnitt 4.1.5)<br />

w, t-Diagramm aufzeichnen<br />

Als Erstes wird geprüft, ob die Bewegung beschleunigt<br />

(ansteigende w-Linie) oder verzögert ist<br />

(fallende w-Linie), und ob die Bewegung aus dem<br />

Ruhezustand heraus erfolgt oder bis zur Ruhestellung<br />

verläuft. Danach skizziert man das w, t-Diagramm<br />

(unmaßstäblich).<br />

Als Beispiel wird eine gleichmäßig beschleunigte<br />

Kreisbewegung mit Anfangs-Winkelgeschwindigkeit<br />

(w0 6¼ 0) betrachtet.<br />

Fläche A ¼b Drehwinkel Dj<br />

Gilt für jede Drehbewegung<br />

aT ¼ Dvu<br />

Dt<br />

Δv<br />

v 0<br />

aT ¼ ar<br />

v<br />

Zusammenhang zwischen<br />

Tangentialgrößen und Kreisgrößen<br />

¼ Dw r<br />

Dt<br />

v-Linie<br />

A= Δϕ =<br />

¼ ar<br />

aT a r<br />

m<br />

s 2<br />

v0 + vt<br />

Δt<br />

2<br />

rad 1<br />

¼<br />

s2 s2 vt<br />

0 t<br />

Δt<br />

4 Dynamik<br />

m<br />

1. Schritt

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