Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

4.3 Gleichmäßig beschleunigte (verzögerte) Drehbewegung 183
4.3.2 Winkelbeschleunigung a
Bei der gleichmäßig beschleunigten oder verzögerten
Kreisbewegung muss die Ønderung der
Winkelgeschwindigkeit Dw konstant bleiben
(Dw ¼ konstant), wie im allgemeinen Fall
Dv ¼ konstant war (Seite 151). Die Winkelgeschwindigkeitslinie
im w, t-Diagramm muss
eine ansteigende oder abfallende Gerade sein.
Wird ein Körper aus der Ruhelage heraus drehend
gleichmäßig beschleunigt, so dass er nach
Dt ¼ 6 s eine Momentan-Winkelgeschwindigkeit
wt ¼ 9 rad=s besitzt, dann beträgt seine Winkelgeschwindigkeitszunahme
in jeder Sekunde
Dw ¼ 1,5 rad=s.
Entsprechend der Beschleunigung a im allgemeinen
Fall hat man für die Kreisbewegung die
Winkelbeschleunigung a als Vergleichsgröße festgelegt:
Die Winkelbeschleunigung a eines gleichmäßig
beschleunigten oder verzögerten Körpers ist der
Quotient aus der Winkelgeschwindigkeitsänderung
Dw und dem zugehörigen Zeitabschnitt
Dt. Die Winkelbeschleunigung ist ein Vektor.
Vergleiche diese Definition mit Seite 152.
Die Einheit der Winkelbeschleunigung a ergibt
sich in gewohnter Weise aus der Definitionsgleichung
für die Größe, hier also „Radiant je Sekundequadrat“
(beachte: rad ¼ 1).
4.3.3 Der Drehwinkel im w, t-Diagramm
Es muss noch nachgewiesen werden, dass für den
Drehwinkel Dj im w, t-Diagramm das Gleiche
gilt wie für den Wegabschnitt Ds im v, t-Diagramm
(vergleiche mit Seite 152).
Die Winkelgeschwindigkeit w ändert sich von
w0 ¼ 0 am Anfang auf wt am Ende des Zeitabschnittes
Dt. Weil die Winkelgeschwindigkeitsänderung
konstant ist, ergibt sich die mittlere
Winkelgeschwindigkeit zu wm ¼ðw0 þ wtÞ=2
und der überstrichene Drehwinkel zu
Dj ¼ wm Dt ¼ wt Dt=2. Das entspricht dem Flächeninhalt
der Dreieckfläche unter der w-Linie.
Winkelbeschleunigung a, dargestellt im
w, t-Diagramm
Hinweis: Vergleiche das w, t-Diagramm mit
dem v, t-Diagramm auf Seite 151.
Winkelgeschwindigkeitsänderung Dw
a ¼
zugehöriger Zeitabschnitt Dt
a ¼ Dw
Dt
Grundgleichung der gleichmäßig beschleunigten
(verzögerten) Kreisbewegung
ðaÞ ¼ ðwÞ
ðtÞ ¼
v
rad
s
s
¼ rad
s
a Dw Dt
rad 1
¼
s2 s2 rad 1
¼
s s
1 2
¼ ¼ s 2 s2 v m
0 m
v =2v
v0 + vt
A= Δϕ = Δt
2
v0 =0
0 Δt
t
Mittlere Winkelgeschwindigkeit wm
s