Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

4.2 Gleichförmige Drehbewegung (Kreisbewegung) 179
4.2.6 Die Winkelgeschwindigkeit w
Die Umfangsgeschwindigkeit vu kennzeichnet
immer nur den Bewegungszustand eines einzelnen
Punktes, denn vu ist vom Radius abhängig
(vu r). Körperpunkte auf unterschiedlichen Radien
legen bei jeder Umdrehung verschieden große
Wege zurück. Für alle Punkte ist aber der überstrichene
Drehwinkel Dj gleich groß. Deshalb hat
man für umlaufende Teile eine vom Radius unabhängige
Größe definiert, die Winkelgeschwindigkeit
w (Omega):
Die Winkelgeschwindigkeit w eines gleichförmig
umlaufenden Körpers ist der Quotient aus
dem überstrichenen Drehwinkel Dj und dem
zugehörigen Zeitabschnitt Dt. Alle Punkte
eines rotierenden Körpers haben im gleichen
Zeitpunkt gleiche Winkelgeschwindigkeit,
nicht aber gleiche Umfangsgeschwindigkeit.
Dreht sich der Körper nicht gleichförmig, dann
erhält man mit dieser Definitionsgleichung die
mittlere Winkelgeschwindigkeit wm (Durchschnitts-Winkelgeschwindigkeit).
Die Einheit für die Winkelgeschwindigkeit w ergibt
sich aus den gewählten Einheiten für den Drehwinkel
und dem Zeitabschnitt oder aus der gewählten
Einheit für die Drehzahl n.
Als Einheit für den Drehwinkel benutzt man nicht
die Einheit „Grad“ (obgleich grundsätzlich möglich),
sondern die Einheit „Radiant“ (Kurzzeichen:
rad). Wie „Umdrehung U“ ist auch „Radiant rad“
eine Umschreibung für die Zahl Eins.
Statt rad/s kann man immer auch 1/s schreiben,
ebenso: statt U/min auch 1/min.
w ¼ Dj 2pz
¼
Dt Dt
w ¼ 2pn
Grundgleichung der
gleichförmigen
Drehbewegung
Beispiel:
Beim ungebremsten Auslaufen braucht eine
Drehspindel 60 U und 90 s bis zum Stillstand.
Dann ist
wm ¼ Dj
Dt
ðwÞ ¼ ðjÞ
ðtÞ
¼ 2pz
Dt
2p60 4
¼ ¼
90 s 3
rad 1 1
¼ ¼ ¼ s
s s
ðwÞ ¼ð2pÞðnÞ ¼ rad 1
1
¼ ¼ min
min min
Umrechnungen:
2p rad ¼ 360
1rad¼ 180
p
4.2.7 Winkelgeschwindigkeit und Umfangsgeschwindigkeit
Aus den nun bekannten Gleichungen für die Umfangs-
und Winkelgeschwindigkeit kann man
sofort die gegenseitige Abhängigkeit erkennen.
Die Winkelgeschwindigkeit w ¼ 2pn ist in der
Gleichung für vu ¼ 2prnenthalten.
w Dj z Dt n
rad 1
¼
s s
57,3
Beispiel:
w ¼ 90 rad 1
1
¼ 90 ¼ 90 s
s s
vu ¼ 2prn ¼ 2pnr ¼ wr
vu ¼ wr
rad 1 s
1 1
¼ s
s
vu w r
m
s
1 rad
¼
s s
rad rad
p ¼ 4,19
s s
m