Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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4.2.4.1 Zahlenwertgleichungen für die Umfangsgeschwindigkeit
Für Rechnungen an Werkzeugmaschinen wird die
Umfangsgeschwindigkeit als Schnittgeschwindigkeit
v meist in m/min gebraucht (Richtwerttabellen),
wobei der Durchmesser d ¼ 2r in mm eingesetzt
werden soll. Man rechnet dann mit einer auf
diese Einheiten zugeschnittenen Zahlenwertgleichung.
Für Schleifscheiben würden sich mit der obigen
Zahlenwertgleichung zu große Zahlenwerte ergeben.
Man arbeitet dort mit der Einheit m/s und
muss daher im Nenner noch den Faktor 60 aufnehmen.
Man entwickelt aus der Größengleichung dann
eine Zahlenwertgleichung, wenn häufig mit denselben
Einheiten gerechnet wird.
v ¼ pdn
1000
Schnittgeschwindigkeit v an Drehmaschinen,
Fräsmaschinen usw.
Beachte: Beim Rechnen mit Zahlenwertgleichungen
darf man die Einheiten nicht
mitschreiben.
4.2.5 Umfangsgeschwindigkeit und Mittelpunktsgeschwindigkeit
Ein Rad vom Radius r rollt ohne zu gleiten (also
schlupffrei) auf seiner Unterlage. Ein Umfangspunkt
P besitzt die Umfangsgeschwindigkeit
vu ¼ 2prn. Die Geschwindigkeit des Radmittelpunktes
M parallel zur Unterlage wird mit der Mittelpunktsgeschwindigkeit
vM bezeichnet. Es soll
geklärt werden, in welchem Verhältnis vu und vM
zueinander stehen.
Bei einer Umdrehung rollt der Radumfang 2pr
ab, bei z Umdrehungen z-mal so viel, also legt der
Radmittelpunkt M den Wegabschnitt Ds ¼ 2prz
zurück. Damit ergibt sich seine Geschwindigkeit
vM ¼ 2prz=Dt. Das aber ist genau die Gleichung
für die Umfangsgeschwindigkeit vu:
Beim schlupffrei rollenden Rad sind Umfangsgeschwindigkeit
und Mittelpunktsgeschwindigkeit
gleich groß.
Das rollende Rad „kippt“ laufend um den jeweiligen
Stützpunkt A. Die momentane Geschwindigkeit
v der Radpunkte auf dem gedachten Durchmesser
AMP wächst linear von vA ¼ 0 auf
vM ¼ vu und weiter auf vP ¼ 2vM ¼ 2vu.
Mittelpunkts- Umfangsgeschwindigkeit
geschwindigkeit
vM ¼ 2prz
Dt ¼ 2prn vu ¼ 2prz
¼ 2prn
Dt
vM ¼ vu
4 Dynamik
v d n
m
1
mm min
min
v ¼ pdn
60 000
v
m
s
d
mm
n
1
min
Schnittgeschwindigkeit v für Schleifscheiben
Beachte: vM ist bezogen auf die Unterlage,
vu dagegen bezogen auf den Radmittelpunkt
M.