Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
Alfred Böge Technische Mechanik - PP99 Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
176 4.2 Gleichförmige Drehbewegung (Kreisbewegung) Die bisher behandelten Gesetze gelten für geradlinige und krummlinige Bewegungen, also auch für die Bewegung eines Punktes auf der Kreisbahn, zum Beispiel für die Bewegung eines Schleifkorns auf einer umlaufenden Schleifscheibe. Die Drehbewegung wird gesondert behandelt, weil für diese technisch wichtigste Bewegungsform besondere physikalische und geometrische Größen eingeführt wurden. Das gilt beispielsweise für die Begriffe Drehzahl, Drehwinkel, Umfangsgeschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung und Ûbersetzung. 4.2.1 Die Drehzahl n Bringt man auf einer umlaufenden Scheibe (Werkstückspanner einer Drehmaschine, Schleifscheibe usw.) mit Kreide eine Markierung an, dann kann die Anzahl der Umdrehungen gezählt werden. Sie werden hier mit z bezeichnet, also beispielsweise z ¼ 25 U (Umdrehungen). Dividiert man z durch den zugehörigen Zeitabschnitt Dt, dann erhält man die Drehzahl n der Scheibe: Die Drehzahl n ist der Quotient aus der Anzahl z der Umdrehungen und dem zugehörigen Zeitabschnitt Dt. Die Drehzahl n umlaufender Maschinenteile wird meistens auf die Minute als Zeiteinheit bezogen. Mit 1 min ¼ 60 s kann leicht umgerechnet werden. Das Wort Umdrehung mit dem Kurzzeichen U steht nur für die Zahl 1, so dass in der Technik die Einheit für die Drehzahl n auch mit der Eins geschrieben wird, meistens in der Potenzschreibweise ðmin 1 Þ. Beim Kurbelgetriebe eines Verbrennungsmotors entspricht einer Auf- und Abwärtsbewegung (Doppelhub) des Kolbens eine Umdrehung der Kurbelwelle. Zur Berechnung der Kolbengeschwindigkeit ermittelt man daher die Zeit für eine Kurbelwellenumdrehung (Umlaufzeit): Die Periodendauer T (Umlaufzeit) ist der Kehrwert der Drehzahl n. Beachte: Die Angabe einer Drehzahl bezieht sich immer auf den ganzen umlaufenden Körper, z. B. auf den Rotor eines Elektromotors. Mit welcher Geschwindigkeit sich die einzelnen Punkte bewegen, ist noch unbekannt. Anzahl Umdrehungen z n ¼ Zeitabschnitt Dt n ¼ z Dt Beispiel: n ¼ 1 500 U U U ¼ 1500 ¼ 25 min 60 s s Beispiel: n ¼ 1500 U min U 1 1 ¼ ¼ min min min 1 1 ¼ 1500 ¼ 1500 min min Hinweis: In der Schwingungslehre ist T der kürzeste Zeitabschnitt, nach dem sich eine Schwingung periodisch wiederholt. Siehe auch Seite 151. 1 T ¼ Drehzahl n T ¼ 1 n n z Dt U 1 ¼ min min ¼ min 1 U min T n min, s min 1 ,s 1 4 Dynamik
4.2 Gleichförmige Drehbewegung (Kreisbewegung) 177 4.2.2 Die Umfangsgeschwindigkeit vu Umfangsgeschwindigkeit vu ist die Bezeichnung für die Geschwindigkeit eines Umfangspunktes im Abstand r von der Drehachse eines umlaufenden Körpers auf seiner Kreisbahn. Bei gleichförmiger Drehbewegung ist die Umfangsgeschwindigkeit vu der Quotient aus Wegund Zeitabschnitt. Drehbewegung um eine Drehachse Bei der ungleichförmigen Drehbewegung ist der Quotient aus Weg- und Zeitabschnitt die mittlere Umfangsgeschwindigkeit vum (Durchschnittsgeschwindigkeit). 4.2.3 Richtung der Umfangsgeschwindigkeit vu Man stellt sich den Umfangspunkt B als Körper vor, der an einem Faden um die Drehachse A umläuft. Wird der Faden in einer der eingezeichneten Stellungen los gelassen, bewegt sich der Körper nach dem Trägheitsgesetz mit der momentanen Umfangsgeschwindigkeit vu geradlinig fort und zwar in Richtung der jeweiligen Tangente an seine Kreisbahn: Richtung der Umfangsgeschwindigkeit Die Umfangsgeschwindigkeit vu ist immer tangential gerichtet; sie ist eine Tangentialgröße. 4.2.4 Umfangsgeschwindigkeit vu und Drehzahl n Der Wegabschnitt Ds eines umlaufenden Umfangspunktes wird durch den Kreisumfang ausgedrückt. Bei z Umdrehungen wird damit Ds ¼ 2prz. Mit z=Dt ¼ n erhält man die übliche Gleichung zur Berechnung der Umfangsgeschwindigkeit. Bei der gleichförmigen Drehbewegung ist die Drehzahl n ¼ konstant. Die Umfangsgeschwindigkeit vu eines Umfangspunktes dagegen ändert sich, wie die Gleichung zeigt, mit dem Radius r: Je größer der Radius, umso größer ist auch vu. Man sagt auch: vu wächst proportional mit dem Radius (vu r). vu ¼ Ds 2prz ¼ Dt Dt vu ¼ 2pr z Dt vu ¼ 2prn vu r n m s m U 1 1 ¼ ¼ s s s m min m U 1 ¼ ¼ min min min 1 Beispiel: Wie groß ist die Umfangsgeschwindigkeit eines Umfangspunktes B, der doppelt so weit vom Scheibenmittelpunkt entfernt liegt wie Punkt A? Lösung: vuB ¼ 2prB n rB¼2rA vuB ¼ 2p 2rA n ¼ 2 2prA n ¼ 2vuA
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4.2 Gleichförmige Drehbewegung (Kreisbewegung)<br />
Die bisher behandelten Gesetze gelten für geradlinige und krummlinige Bewegungen, also<br />
auch für die Bewegung eines Punktes auf der Kreisbahn, zum Beispiel für die Bewegung eines<br />
Schleifkorns auf einer umlaufenden Schleifscheibe. Die Drehbewegung wird gesondert behandelt,<br />
weil für diese technisch wichtigste Bewegungsform besondere physikalische und<br />
geometrische Größen eingeführt wurden. Das gilt beispielsweise für die Begriffe Drehzahl,<br />
Drehwinkel, Umfangsgeschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung und<br />
Ûbersetzung.<br />
4.2.1 Die Drehzahl n<br />
Bringt man auf einer umlaufenden Scheibe (Werkstückspanner<br />
einer Drehmaschine, Schleifscheibe<br />
usw.) mit Kreide eine Markierung an, dann kann<br />
die Anzahl der Umdrehungen gezählt werden. Sie<br />
werden hier mit z bezeichnet, also beispielsweise<br />
z ¼ 25 U (Umdrehungen). Dividiert man z durch<br />
den zugehörigen Zeitabschnitt Dt, dann erhält man<br />
die Drehzahl n der Scheibe:<br />
Die Drehzahl n ist der Quotient aus der Anzahl<br />
z der Umdrehungen und dem zugehörigen Zeitabschnitt<br />
Dt.<br />
Die Drehzahl n umlaufender Maschinenteile wird<br />
meistens auf die Minute als Zeiteinheit bezogen.<br />
Mit 1 min ¼ 60 s kann leicht umgerechnet werden.<br />
Das Wort Umdrehung mit dem Kurzzeichen U<br />
steht nur für die Zahl 1, so dass in der Technik die<br />
Einheit für die Drehzahl n auch mit der Eins<br />
geschrieben wird, meistens in der Potenzschreibweise<br />
ðmin 1 Þ.<br />
Beim Kurbelgetriebe eines Verbrennungsmotors<br />
entspricht einer Auf- und Abwärtsbewegung<br />
(Doppelhub) des Kolbens eine Umdrehung der<br />
Kurbelwelle. Zur Berechnung der Kolbengeschwindigkeit<br />
ermittelt man daher die Zeit für eine<br />
Kurbelwellenumdrehung (Umlaufzeit):<br />
Die Periodendauer T (Umlaufzeit) ist der Kehrwert<br />
der Drehzahl n.<br />
Beachte: Die Angabe einer Drehzahl bezieht<br />
sich immer auf den ganzen umlaufenden Körper,<br />
z. B. auf den Rotor eines Elektromotors.<br />
Mit welcher Geschwindigkeit sich die einzelnen<br />
Punkte bewegen, ist noch unbekannt.<br />
Anzahl Umdrehungen z<br />
n ¼<br />
Zeitabschnitt Dt<br />
n ¼ z<br />
Dt<br />
Beispiel:<br />
n ¼ 1 500 U U U<br />
¼ 1500 ¼ 25<br />
min 60 s s<br />
Beispiel:<br />
n ¼ 1500 U<br />
min<br />
U 1<br />
1<br />
¼ ¼ min<br />
min min<br />
1<br />
1<br />
¼ 1500 ¼ 1500 min<br />
min<br />
Hinweis: In der Schwingungslehre ist T der<br />
kürzeste Zeitabschnitt, nach dem sich eine<br />
Schwingung periodisch wiederholt. Siehe<br />
auch Seite 151.<br />
1<br />
T ¼<br />
Drehzahl n<br />
T ¼ 1<br />
n<br />
n z Dt<br />
U 1<br />
¼<br />
min min ¼ min 1 U min<br />
T n<br />
min, s min 1 ,s 1<br />
4 Dynamik