Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
Alfred Böge Technische Mechanik - PP99 Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
174 Um auf direktem Weg die Gesamtzeit t berechnen zu können, werden die beiden Gleichungen (10) und (15) zu einer Gleichung zusammen gefasst. Man erhält dann die Gleichung (16). Auch hier ergibt nur der positive Wurzelwert ein physikalisch sinnvolles Ergebnis. Auftreffgeschwindigkeit vE: Sie ist die Resultierende aus der Horizontalgeschwindigkeit v0x ¼ v0 cos a0 und der Vertikalgeschwindigkeit vy, die sich nach Bild c) Seite 173 zusammensetzt aus: v0y ¼ v0 sin a0 und gtE. Der Auftreffwinkel aE kann mit Gleichung (14) berechnet werden, wenn man für v ¼ vE einsetzt. Wurfweite s und Teilweg sE: Der Teilweg sE ist nach Bild b) Seite 173 aus t1=2 ¼ T þ tE1=2 ¼ 2 v0 sin a0 þ tE1=2 g t 1=2 ¼ 2 v0 sin a0 g t 1=2 ¼ v0 sin a0 g Gesamtzeit v0 sin a0 g ... ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 v0 sin a0 þ g 2hE s g vE ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi v0x 2 þ vy 2 q v0x ¼ v0 cos a0; vy ¼ v0y þ gtE (16) vy ¼ v0 sin a0 þ gtE ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi vE ¼ ðv0 cos a0Þ 2 þðv0 sin a0 þ gtEÞ 2 q Auftreffgeschwindigkeit (17) Rechnung aus Platzgründen ohne Einheiten: ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi vE ¼ ð10 cos 50 Þ 2 þð10 sin 50 þ 9,81 0,228Þ 2 q vE ¼ 11,8 m s aE ¼ arccos v0 cos a0 aE ¼ 57 vE sE ¼ v0 cos a0 tE ¼ arccos (18) 4 Dynamik 10 m cos 50 s 11,8 m s sE ¼ 10 m=s cos 50 0,228 s ¼ 1,466 m sE ¼ v0xtE ¼ v0 cos a0tE zu berechnen. Mit dieser Gleichung und mit Gleichung (11) kann eine Gleichung für s entwickelt s ¼ werden. v0 2 sin 2a0 þ sE g (19) s ¼ ð10 m=sÞ2 sin 100 9,81 m=s2 þ 1,466 m ¼ 11,5 m Kontrolle: Nach Bild b) ist s ¼ v0x t ¼ v0 cos a0 t mit t nach Gleichung (16). s ¼ v0 cos a0 t (20) s ¼ 10 m s cos 50 1,79 s ¼ 11,5 m
4.1 Allgemeine Bewegungslehre 175 2. Ûbung: Eine Dachpfanne gleitet unter einem Winkel a0 ¼ 30 mit einer Geschwindigkeit v0 ¼ 5 m/s von der Dachtraufe, die h ¼ 20 m über dem Erdboden liegt. Es soll eine Gleichung zur Bestimmung des Abstandes sx ¼ f ða0; v0; hÞ des Auftreffpunktes von der Hausmauer entwickelt und damit sx berechnet werden. Lösung: Es werden als Erstes wieder die beiden v, t-Diagramme für die Horizontal- und die Vertikalbewegung skizziert. Während des Zeitabschnitts tx wird die Strecke sx mit der konstanten Geschwindigkeitskomponente v0x ¼ v0 cos a0 zurückgelegt. Im gleichen Zeitabschnitt fällt die Dachpfanne im freien Fall um die Höhe h. Dabei steigt die Geschwindigkeitskomponente (Vertikalgeschwindigkeit) von v0y ¼ v0 sin a0 um Dv ¼ gtx auf vy. Der Vergleich der beiden v, t-Diagramme mit den Diagrammen b) und c) auf Seite 173 zeigt vollständige Ûbereinstimmung des Bewegungsvorgangs zwischen den Punkten E1 und E2 der Parabel. Man kann also ohne Bedenken die dort entwickelten Gleichungen verwenden. Für die vorliegende Aufgabe ist das Gleichung (15) in Verbindung mit Gleichung (18). Man hat damit die gesuchte Beziehung sx ¼ f ða0; v0; hÞ gefunden. Der Aufschlagpunkt liegt um sx ¼ 7,71 m von der Hausmauer entfernt. Aufgaben Nr. 448–451 Gegeben: a0 ¼ 30 v0 ¼ 5 m s h ¼ 20 m a ¼ g ¼ 9,81 m s 2 Gesucht: sx ¼ f ða0; v0; hÞ v0y v0x gt x v x v y s = v t x 0x x h=v t + 0y x t x 2 gtx 2 v y t t a) siehe auch v, t-Diagramm b) Seite 173 b) siehe auch v, t-Diagramm c) Seite 173 v, t-Diagramm der Horizontalbewegung a) und der Vertikalbewegung b) tx ¼ v0 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sin a0 þ g v0 sin a0 g 2 þ 2h s g sx ¼v0 cos a0 tx Nur die positive Lösung für tx ist sinnvoll. Der Ausdruck für tx (nach Gleichung (15)) wird in die Gleichung für sx eingesetzt. " sx ¼ v0 cos a0 v0 sin a0 þ g ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ v0 sin a0 g 2 þ 2h s 3 5 g (21) sx ¼ 7,71 m
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- Seite 241 und 242: 4.7 Energie 221 4.7.5 Energieerhalt
- Seite 243 und 244: 4.7 Energie 223 Da der Weg s nicht
4.1 Allgemeine Bewegungslehre 175<br />
2. Ûbung: Eine Dachpfanne gleitet unter einem<br />
Winkel a0 ¼ 30 mit einer Geschwindigkeit<br />
v0 ¼ 5 m/s von der Dachtraufe, die h ¼ 20 m über<br />
dem Erdboden liegt. Es soll eine Gleichung zur<br />
Bestimmung des Abstandes sx ¼ f ða0; v0; hÞ des<br />
Auftreffpunktes von der Hausmauer entwickelt<br />
und damit sx berechnet werden.<br />
Lösung: Es werden als Erstes wieder die beiden<br />
v, t-Diagramme für die Horizontal- und die Vertikalbewegung<br />
skizziert.<br />
Während des Zeitabschnitts tx wird die Strecke sx<br />
mit der konstanten Geschwindigkeitskomponente<br />
v0x ¼ v0 cos a0 zurückgelegt. Im gleichen Zeitabschnitt<br />
fällt die Dachpfanne im freien Fall um<br />
die Höhe h. Dabei steigt die Geschwindigkeitskomponente<br />
(Vertikalgeschwindigkeit) von<br />
v0y ¼ v0 sin a0 um Dv ¼ gtx auf vy.<br />
Der Vergleich der beiden v, t-Diagramme mit den<br />
Diagrammen b) und c) auf Seite 173 zeigt vollständige<br />
Ûbereinstimmung des Bewegungsvorgangs<br />
zwischen den Punkten E1 und E2 der Parabel.<br />
Man kann also ohne Bedenken die dort<br />
entwickelten Gleichungen verwenden. Für die vorliegende<br />
Aufgabe ist das Gleichung (15) in Verbindung<br />
mit Gleichung (18).<br />
Man hat damit die gesuchte Beziehung<br />
sx ¼ f ða0; v0; hÞ gefunden.<br />
Der Aufschlagpunkt liegt um sx ¼ 7,71 m von der<br />
Hausmauer entfernt.<br />
Aufgaben Nr. 448–451<br />
Gegeben:<br />
a0 ¼ 30<br />
v0 ¼ 5 m<br />
s<br />
h ¼ 20 m<br />
a ¼ g ¼ 9,81 m<br />
s 2<br />
Gesucht:<br />
sx ¼ f ða0; v0; hÞ<br />
v0y v0x<br />
gt x<br />
v x<br />
v y<br />
s = v t<br />
x 0x x<br />
h=v t +<br />
0y x<br />
t x<br />
2 gtx<br />
2<br />
v y<br />
t<br />
t<br />
a) siehe auch<br />
v, t-Diagramm b)<br />
Seite 173<br />
b) siehe auch<br />
v, t-Diagramm c)<br />
Seite 173<br />
v, t-Diagramm der Horizontalbewegung a)<br />
und der Vertikalbewegung b)<br />
tx ¼ v0<br />
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
sin a0<br />
þ<br />
g<br />
v0 sin a0<br />
g<br />
2<br />
þ 2h<br />
s<br />
g<br />
sx ¼v0 cos a0 tx<br />
Nur die positive Lösung für tx ist sinnvoll.<br />
Der Ausdruck für tx (nach Gleichung (15))<br />
wird in die Gleichung für sx eingesetzt.<br />
"<br />
sx ¼ v0 cos a0<br />
v0 sin a0<br />
þ<br />
g<br />
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi<br />
þ<br />
v0 sin a0<br />
g<br />
2<br />
þ 2h<br />
s 3<br />
5<br />
g<br />
(21)<br />
sx ¼ 7,71 m