Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

4.1 Allgemeine Bewegungslehre 175
2. Ûbung: Eine Dachpfanne gleitet unter einem
Winkel a0 ¼ 30 mit einer Geschwindigkeit
v0 ¼ 5 m/s von der Dachtraufe, die h ¼ 20 m über
dem Erdboden liegt. Es soll eine Gleichung zur
Bestimmung des Abstandes sx ¼ f ða0; v0; hÞ des
Auftreffpunktes von der Hausmauer entwickelt
und damit sx berechnet werden.
Lösung: Es werden als Erstes wieder die beiden
v, t-Diagramme für die Horizontal- und die Vertikalbewegung
skizziert.
Während des Zeitabschnitts tx wird die Strecke sx
mit der konstanten Geschwindigkeitskomponente
v0x ¼ v0 cos a0 zurückgelegt. Im gleichen Zeitabschnitt
fällt die Dachpfanne im freien Fall um
die Höhe h. Dabei steigt die Geschwindigkeitskomponente
(Vertikalgeschwindigkeit) von
v0y ¼ v0 sin a0 um Dv ¼ gtx auf vy.
Der Vergleich der beiden v, t-Diagramme mit den
Diagrammen b) und c) auf Seite 173 zeigt vollständige
Ûbereinstimmung des Bewegungsvorgangs
zwischen den Punkten E1 und E2 der Parabel.
Man kann also ohne Bedenken die dort
entwickelten Gleichungen verwenden. Für die vorliegende
Aufgabe ist das Gleichung (15) in Verbindung
mit Gleichung (18).
Man hat damit die gesuchte Beziehung
sx ¼ f ða0; v0; hÞ gefunden.
Der Aufschlagpunkt liegt um sx ¼ 7,71 m von der
Hausmauer entfernt.
Aufgaben Nr. 448–451
Gegeben:
a0 ¼ 30
v0 ¼ 5 m
s
h ¼ 20 m
a ¼ g ¼ 9,81 m
s 2
Gesucht:
sx ¼ f ða0; v0; hÞ
v0y v0x
gt x
v x
v y
s = v t
x 0x x
h=v t +
0y x
t x
2 gtx
2
v y
t
t
a) siehe auch
v, t-Diagramm b)
Seite 173
b) siehe auch
v, t-Diagramm c)
Seite 173
v, t-Diagramm der Horizontalbewegung a)
und der Vertikalbewegung b)
tx ¼ v0
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sin a0
þ
g
v0 sin a0
g
2
þ 2h
s
g
sx ¼v0 cos a0 tx
Nur die positive Lösung für tx ist sinnvoll.
Der Ausdruck für tx (nach Gleichung (15))
wird in die Gleichung für sx eingesetzt.
"
sx ¼ v0 cos a0
v0 sin a0
þ
g
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
þ
v0 sin a0
g
2
þ 2h
s 3
5
g
(21)
sx ¼ 7,71 m