Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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Um auf direktem Weg die Gesamtzeit t berechnen
zu können, werden die beiden Gleichungen (10)
und (15) zu einer Gleichung zusammen gefasst.
Man erhält dann die Gleichung (16).
Auch hier ergibt nur der positive Wurzelwert ein
physikalisch sinnvolles Ergebnis.
Auftreffgeschwindigkeit vE: Sie ist die Resultierende
aus der Horizontalgeschwindigkeit
v0x ¼ v0 cos a0 und der Vertikalgeschwindigkeit vy,
die sich nach Bild c) Seite 173 zusammensetzt aus:
v0y ¼ v0 sin a0 und gtE.
Der Auftreffwinkel aE kann mit Gleichung (14)
berechnet werden, wenn man für v ¼ vE einsetzt.
Wurfweite s und Teilweg sE: Der Teilweg sE ist
nach Bild b) Seite 173 aus
t1=2 ¼ T þ tE1=2 ¼ 2 v0 sin a0
þ tE1=2 g
t 1=2 ¼ 2 v0 sin a0
g
t 1=2 ¼ v0 sin a0
g
Gesamtzeit
v0 sin a0
g
...
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2
v0 sin a0
þ
g
2hE
s
g
vE ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
v0x 2 þ vy 2
q
v0x ¼ v0 cos a0; vy ¼ v0y þ gtE
(16)
vy ¼ v0 sin a0 þ gtE
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
vE ¼ ðv0 cos a0Þ 2 þðv0 sin a0 þ gtEÞ 2
q
Auftreffgeschwindigkeit
(17)
Rechnung aus Platzgründen ohne Einheiten:
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
vE ¼ ð10 cos 50 Þ 2 þð10 sin 50 þ 9,81 0,228Þ 2
q
vE ¼ 11,8 m
s
aE ¼ arccos v0 cos a0
aE ¼ 57
vE
sE ¼ v0 cos a0 tE
¼ arccos
(18)
4 Dynamik
10 m
cos 50
s
11,8 m
s
sE ¼ 10 m=s cos 50 0,228 s ¼ 1,466 m
sE ¼ v0xtE ¼ v0 cos a0tE
zu berechnen. Mit dieser Gleichung und mit Gleichung
(11) kann eine Gleichung für s entwickelt
s ¼
werden.
v0 2 sin 2a0
þ sE
g
(19)
s ¼ ð10 m=sÞ2 sin 100
9,81 m=s2 þ 1,466 m ¼ 11,5 m
Kontrolle: Nach Bild b) ist s ¼ v0x t ¼ v0 cos a0 t
mit t nach Gleichung (16). s ¼ v0 cos a0 t (20)
s ¼ 10 m
s
cos 50 1,79 s ¼ 11,5 m