Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

4.1 Allgemeine Bewegungslehre 173
1. Ûbung: Das s; h-Diagramm, Bild a), zeigt die
Wurfparabel eines schrägen Wurfs, bei dem die
Abwurfebene (Punkt E1) nicht zugleich Auftreffebene
ist. Diese liegt um die Fallhöhe hE tiefer
(Punkt E2).
Gegeben: Abwurfgeschwindigkeit v0 ¼ 10 m/s
Abwurfwinkel a0 ¼ 50
Fallhöhe hE ¼ 2m
Gesucht: Gesamtzeit t, Wurfweite s, Auftreffgeschwindigkeit
vE, Auftreffwinkel aE,
Teilzeit tE und Teilweg s E.
Lösung: Es sollte nicht versucht werden, die bereits
hergeleiteten Gleichungen für die symmetrische
Wurfparabel (Seite 170) auf den vorliegenden
Fall anzuwenden. Das führt leicht zu Fehlern. Daher
skizziert man für jeden speziellen Fall, so wie
hier, die zugehörigen v, t-Diagramme b) und c)
und wertet die Diagramme wie gewohnt aus. Gegenüber
den Diagrammen, Seite 170, braucht man
nur die vx- und die vy-Linie bis zum Auftreffpunkt
E2 zu verlängern.
Wurfzeit t und Teilzeit tE: Die gesamte Wurfzeit t
setzt sich zusammen aus der Wurfzeit T nach Gleichung
(10) und der Teilzeit tE für den Teilweg sE
und für die Fallhöhe hE.
Eine Gleichung für die Teilzeit tE erhält man mit
der Weggleichung hE nach dem v, t-Diagramm c).
Darin entspricht die Trapezfläche A ¼b Fallhöhe
hE ¼ v0y tE þ gtE 2 =2.
Die gemischt-quadratische Gleichung liefert eine
Beziehung für die Teilzeit tE.
Mit v0 ¼ 10 m/s, a0 ¼ 50 und hE ¼ 2 m erhält
man als physikalisch sinnvolle Teilzeit
t E ¼ t E1 ¼ 0,228 s.
Mit Gleichung (10) bekommt man die Gesamtzeit
t ¼ T þ t E ¼ 2v0 sin a0=g þ t E.
a) s; h-Diagramm (Wurfparabel)
b) v, t-Diagramm der Horizontalbewegung
c) v, t-Diagramm der Vertikalbewegung
A ¼b hE ¼ v0y tE þ g 2
tE
2
tE 2 þ 2
g v0y
2
tE
g hE ¼ 0
tE1=2 ¼ v0y
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
g
v0y
g
2
þ 2hE
s
g
Mit v0y ¼ v0 sin a0 erhält man
tE1=2 ¼ v0 sin a0
g
Teilzeit
tE1 ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2
v0 sin a0
þ
g
2hE
s
g
(15)
10 m=s sin 50
9,81 m=s2 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
10 m=s sin 50
9,81 m=s2 2
2 2m
þ
9,81 m=s2 s
tE1 ¼ 0,228 s; tE2 ¼ 1,7896 s
2 10 m=s sin 50
t ¼
9,81 m=s2 þ 0,228 s ¼ 1,79 s