Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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Die Momentangeschwindigkeit v in einem beliebigen
Bahnpunkt P1 nach dem Zeitabschnitt tx, ist
die Resultierende der momentanen Vertikalgeschwindigkeit
vy ¼ v0 sin a0 gtx (v, t-Diagramm
c), Seite 170) und der konstanten Horizontalgeschwindigkeit
v0x ¼ v0 cos a0.
Man erhält die Momentangeschwindigkeit v in
Abhängigkeit von der Abwurfgeschwindigkeit v0,
dem Steigungswinkel a0, dem Zeitabschnitt tx und
der Fallbeschleunigung g.
Soll der Zeitabschnitt tx in Gleichung (12) aus der
Wurfhöhe h ermittelt werden, hilft die Gleichung
(5) weiter:
Man formt die Gleichung zur Normalform einer
gemischt quadratischen Gleichung um. Danach
stellt man die Lösungsformel für tx1/2 auf und
schreibt die endgültige Form mit v0y ¼ v0 sin a0.
Mit der Weggleichung (2) ist dann auch der Wegabschnitt
sx zu berechnen.
Beim Berechnen des Zeitabschnitts tx nach Gleichung
(13) ergeben sich zwei Werte tx1 und tx2.
Beide Werte sind richtig, denn die Wurfparabel
(Seite 170) schneidet eine Höhenlinie in den beiden
Punkten P1 und P2. Die zugehörigen Zeitabschnitte
sind die berechneten Werte tx1 und tx2.
Den momentanen Richtungswinkel a an der Wurfparabel
im s, t-Diagramm a) auf Seite 170 erhält
man aus dem rechtwinkligen Dreieck mit der
Kosinusfunktion.
v ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
v0x 2 þ vy 2
q
v0x ¼ v0 cos a0; vy ¼ v0 sin a0 gtx
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
v ¼ ðv0 cos a0Þ 2 þðv0 sin a0 gtxÞ 2
q
(12)
Geschwindigkeit vðtÞ
Beachte: In dieser Gleichung muss für den
Winkel a0 immer der spitze Winkel zur positiven
x-Achse eingesetzt werden (siehe Wurfparabel
Seite 170).
h ¼ v0y tx
g
2 tx 2 (Gleichung (5))
tx 2 2v0y
g tx þ 2
h ¼ 0
g
tx1=2 ¼ v0y
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
g
v0y
g
2
2h
g
tx1=2 ¼ v0
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sin a0
g
Zeitabschnitt txðhÞ
v0 sin a0
g
2
2h
g
(13)
Beispiel: Ein Körper wird mit v0 ¼ 100 m/s
unter a0 ¼ 60 abgeworfen. Die Rechnung
nach (13) mit h ¼ 300 m ergibt (aus Platzgründen
ohne Einheiten geschrieben):
100 sin 60
tx1 ¼
s
9,81
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2
100 sin 60 2 300
9,81 9,81
tx1 ¼ 12,9 s
tx2 ¼ 4,73 s
cos a ¼ v0x
v ¼ v0 cos a0
v
a ¼ arccos v0 cos a0
v
(14)
4 Dynamik