Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

4.1 Allgemeine Bewegungslehre 171
Zur Konstruktion der Wurfbahn muss man wie
beim waagerechten Wurf die Abhängigkeit der
Wurfhöhe h von der Wurfweite sx kennen, also
eine Funktionsgleichung für h entwickeln, in der
die Zeit t nicht erscheint. Dazu löst man die Gleichung
sx ¼ v0 cos a0tx nach tx auf und setzt den
gefundenen Ausdruck in die Gleichung für die
Wurfhöhe h ¼ v0 sin a0tx gtx 2 =2 ein (Gleichung
(5)). Damit erhält man h ¼ f ðsx, g, v0, a0Þ.
Die Größen g, v0, tana0 und cos a0 sind
konstante Größen. Mit den beiden Konstanten
k1 ¼ tan a0 und k2 ¼ g=2v0 2 cos 2 a0 erhält man
die Funktionsgleichung in der zweckmäßigsten
Form für die punktweise Berechnung der Wurfparabel.
Es werden nun noch einige häufig gebrauchte
Gleichungen entwickelt:
Die Steigzeit ts erhält man aus der Gleichung
vy ¼ v0 gt (siehe v, t-Diagramm c) und der
Ûberlegung, dass im Scheitelpunkt der Wurfparabel
die Geschwindigkeit in y-Richtung vy ¼ 0 ist
(Richtungsumkehr der senkrechten Teilbewegung).
Die Scheitelhöhe hmax ist der Weg der verzögerten
Bewegung in vertikaler Richtung während der
Steigzeit ts (Dreieckfläche im v, t-Diagramm c).
Für ts wird die in Gleichung (8) entwickelte Beziehung
eingesetzt.
Die gesamte Wurfzeit T bis zum Aufschlag ist das
Doppelte der Steigzeit (immer unter Vernachlässigung
des Luftwiderstandes).
Die größte Wurfweite smax erhält man mit der
Wurfzeit T. Dann ist smax ¼ v0xT ¼ v0 cos a0T.
Für T wird der vorher entwickelte Ausdruck eingesetzt
und für 2 sin a0 cos a0 ¼ sin 2a0 (siehe
Handbuch Maschinenbau).
Bei gegebener Abwurfgeschwindigkeit v0 hängt
smax nur noch vom Steigungswinkel a0 ab. Da der
Sinus eines Winkels nicht größer als 1 werden
kann, wird der Maximalwert für die größte Wurfweite
dann erreicht, wenn sin 2a0 ¼ 1 ist. Das ist
der Fall, wenn 2a0 ¼ 90 und damit der Steigungswinkel
a0 ¼ 45 beträgt.
sx ¼ v0 cos a0tx ) tx ¼
h ¼ v0 sin a0tx
h ¼ v0 sin a0
h ¼ sx tan a0
gtx 2
2
sx
v0 cos a0
h ¼ f ðsx, g, v0, a0Þ
g
sx
v0 cos a0
gsx 2
2v0 2 cos 2 a0
2v0 2 cos2 sx
a0
2 (6)
h ¼ k1sx k2sx 2 (7)
Gleichung der Wurfbahn beim schrägen Wurf
(Wurfparabel)
vy ¼ v0y gtx; v0y ¼ v0 sin a0; tx ¼ ts
vy ¼ v0 sin a0 gts ¼ 0
ts ¼ v0 sin a0
g
hmax ¼ v0y ts
2 ¼ v0 sin a0 ts
2
hmax ¼ v0 2 sin 2 a0
2g
T ¼ 2v0 sin a0
g
(8) Steigzeit
(9) Scheitelhöhe
(10) Wurfzeit
2v0 sin a0
smax ¼ v0 cos a0T ¼ v0 cos a0
g
smax ¼ v0 2 sin 2a0
g
(11)
größte
Wurfweite
Größter Wert für smax bei a0 ¼ 45 , weil dann
sin 2a0 ¼ sin 90 ¼ 1 ist.
Beachte: Die hier entwickelten Gleichungen
gelten auch für den waagerechten Wurf, wenn
in den Gleichungen a0 ¼ 0 gesetzt wird.
Der waagerechte Wurf ist also nur ein
Sonderfall des schrägen Wurfs.