Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

4.1 Allgemeine Bewegungslehre 167
Mit dem Sinussatz wird eine Gleichung zur Berechnung
des Winkels d zwischen den Geschwindigkeitsvektoren
v1 und vr entwickelt. Der Richtungswinkel
b der resultierenden Geschwindigkeit
vr ist die Winkelsumme a þ d.
Zum Schluss findet man über die Tangensfunktion
die gesuchte Strecke l2.
sin a sin d
¼ ) sin d ¼ v2
sin a
vr
d ¼ arcsin
v2
10 km
h
21,918 km
h
b ¼ a þ d ¼ 43,187
l2 ¼ l1 480 m
¼
tan b tan 43,187
vr
sin 30 ¼ 13,187
¼ 511,4 m
4.1.9.2 Ûberlagerung von gleichförmiger und gleichmäßig beschleunigter Bewegung
a) Waagerechter Wurf (ohne Luftwiderstand)
Ein Körper, z. B. eine Kugel, bewegt sich auf horizontaler
Unterlage in x-Richtung mit konstanter
Geschwindigkeit v0. Sobald die Kugel die Unterlage
verlassen hat, unterliegt sie den Gesetzen des
freien Falls. Der gleichförmigen Bewegung in
x-Richtung überlagert sich eine gleichmäßig beschleunigte
Bewegung in y-Richtung. Wie man
später aus der Weggleichung sehen wird, ist die
Wurfbahn eine Parabel.
Man stellt nun die beiden Einzelbewegungen im
v, t-Diagramm dar und liest daraus die Berechnungsgleichungen
ab.
Das v, t-Diagramm für die Horizontalbewegung
des Körpers beim waagerechten Wurf ist das typische
Diagramm für die gleichförmige Bewegung
mit v0 ¼ vx ¼ konstant und dem Flächeninhalt
Ax ¼b sx ¼ v0 tx.
Das v, t-Diagramm für die Vertikalbewegung ist
das typische Diagramm für den freien Fall ohne
Luftwiderstand und ohne Anfangsgeschwindigkeit
(vy ¼ 0). Auch hier kann die Weggleichung abgelesen
werden: Ay ¼b h ¼ vytx=2.
Damit stehen alle Gleichungen zur Verfügung, die
für einen beliebigen speziellen Fall gebraucht werden.
Es ist also nur eine Frage der mathematischen
Geschicklichkeit, wie schnell eine Lösung gefunden
wird. Zwei Ûbungen sollen den Weg zeigen.
v0
v
A = s = v t
x x 0 x
0 tx
t
v
g= vy
tx
vytx A y = h =
2
vy
0 tx t
sx ¼ v0 tx
g ¼ vy
tx
h ¼ vytx
2
Weggleichung
(Wurfweite)
vy ¼ gtx Grundgleichung
2 2
vy gtx
¼ ¼
2g 2
Weggleichungen
(Fallhöhe)