Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
Alfred Böge Technische Mechanik - PP99 Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
166 4.1.9 Ûbungen zur zusammengesetzten Bewegung 4.1.9.1 Ûberlagerung von zwei gleichförmig geradlinigen Bewegungen 1. Ûbung: Der Laufkran in einer Gießerei fährt mit der Geschwindigkeit v1 ¼ 120 m/min. Gleichzeitig bewegt sich rechtwinklig zur Fahrtrichtung die Laufkatze mit v2 ¼ 40 m/min. Es soll die Geschwindigkeit der an der Laufkatze hängenden Last und der Neigungswinkel a des Lastweges zur Fahrtrichtung des Krans bestimmt werden. Lösung: Die beiden Geschwindigkeitsvektoren stehen rechtwinklig aufeinander. Die gesuchte Geschwindigkeit vr ist die Resultierende aus diesen beiden Vektoren. Sie wird, wie bei den Kräften, mit dem Lehrsatz des Pythagoras berechnet. Aus dem Geschwindigkeitsdreieck erkennt man, dass sich der Neigungswinkel a über die Tangensfunktion bestimmen lässt. 2. Ûbung: Ein Boot überquert vom Punkt A aus einen Fluss. Die Eigengeschwindigkeit des Bootes beträgt v1 ¼ 30 km/h und liegt unter dem Winkel a ¼ 30 zur Stromrichtung. Durch die Strömungsgeschwindigkeit v2 ¼ 10 km/h wird das Boot aus seiner Fahrtrichtung abgelenkt und erreicht das gegenüberliegende Ufer im Punkt B. Zu bestimmen sind: a) die resultierende Geschwindigkeit vr des Bootes, b) der Winkel b, c) die Strecke l2. Lösung: Man skizziert das Geschwindigkeitsdreieck aus v1, v2, vr und trägt die Winkel ein. Nach dem Parallelogrammsatz muss die resultierende Geschwindigkeit vr vom Anfangspunkt der zuerst gezeichneten zum Endpunkt der zuletzt gezeichneten Geschwindigkeit (hier v2) gerichtet sein. Ûber den Kosinussatz berechnet man dann vr. Natürlich kann auch die zeichnerische Lösung allein oder zusätzlich angefertigt werden. Lageskizze vr ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi v1 2 þ v2 2 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ¼ 120 m 2 þ 40 min m r 2 min vr ¼ 126,491 m m ¼ 2,108 min s a ¼ arctan v2 40 ¼ arctan v1 m min 120 m ¼ 18,4 min vr ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi v1 2 þ v2 2 p 2v1v2 cos a vr ¼ 21,918 km h 4 Dynamik Lageskizze Geschwindigkeitsskizze
4.1 Allgemeine Bewegungslehre 167 Mit dem Sinussatz wird eine Gleichung zur Berechnung des Winkels d zwischen den Geschwindigkeitsvektoren v1 und vr entwickelt. Der Richtungswinkel b der resultierenden Geschwindigkeit vr ist die Winkelsumme a þ d. Zum Schluss findet man über die Tangensfunktion die gesuchte Strecke l2. sin a sin d ¼ ) sin d ¼ v2 sin a vr d ¼ arcsin v2 10 km h 21,918 km h b ¼ a þ d ¼ 43,187 l2 ¼ l1 480 m ¼ tan b tan 43,187 vr sin 30 ¼ 13,187 ¼ 511,4 m 4.1.9.2 Ûberlagerung von gleichförmiger und gleichmäßig beschleunigter Bewegung a) Waagerechter Wurf (ohne Luftwiderstand) Ein Körper, z. B. eine Kugel, bewegt sich auf horizontaler Unterlage in x-Richtung mit konstanter Geschwindigkeit v0. Sobald die Kugel die Unterlage verlassen hat, unterliegt sie den Gesetzen des freien Falls. Der gleichförmigen Bewegung in x-Richtung überlagert sich eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung in y-Richtung. Wie man später aus der Weggleichung sehen wird, ist die Wurfbahn eine Parabel. Man stellt nun die beiden Einzelbewegungen im v, t-Diagramm dar und liest daraus die Berechnungsgleichungen ab. Das v, t-Diagramm für die Horizontalbewegung des Körpers beim waagerechten Wurf ist das typische Diagramm für die gleichförmige Bewegung mit v0 ¼ vx ¼ konstant und dem Flächeninhalt Ax ¼b sx ¼ v0 tx. Das v, t-Diagramm für die Vertikalbewegung ist das typische Diagramm für den freien Fall ohne Luftwiderstand und ohne Anfangsgeschwindigkeit (vy ¼ 0). Auch hier kann die Weggleichung abgelesen werden: Ay ¼b h ¼ vytx=2. Damit stehen alle Gleichungen zur Verfügung, die für einen beliebigen speziellen Fall gebraucht werden. Es ist also nur eine Frage der mathematischen Geschicklichkeit, wie schnell eine Lösung gefunden wird. Zwei Ûbungen sollen den Weg zeigen. v0 v A = s = v t x x 0 x 0 tx t v g= vy tx vytx A y = h = 2 vy 0 tx t sx ¼ v0 tx g ¼ vy tx h ¼ vytx 2 Weggleichung (Wurfweite) vy ¼ gtx Grundgleichung 2 2 vy gtx ¼ ¼ 2g 2 Weggleichungen (Fallhöhe)
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4.1 Allgemeine Bewegungslehre 167<br />
Mit dem Sinussatz wird eine Gleichung zur Berechnung<br />
des Winkels d zwischen den Geschwindigkeitsvektoren<br />
v1 und vr entwickelt. Der Richtungswinkel<br />
b der resultierenden Geschwindigkeit<br />
vr ist die Winkelsumme a þ d.<br />
Zum Schluss findet man über die Tangensfunktion<br />
die gesuchte Strecke l2.<br />
sin a sin d<br />
¼ ) sin d ¼ v2<br />
sin a<br />
vr<br />
d ¼ arcsin<br />
v2<br />
10 km<br />
h<br />
21,918 km<br />
h<br />
b ¼ a þ d ¼ 43,187<br />
l2 ¼ l1 480 m<br />
¼<br />
tan b tan 43,187<br />
vr<br />
sin 30 ¼ 13,187<br />
¼ 511,4 m<br />
4.1.9.2 Ûberlagerung von gleichförmiger und gleichmäßig beschleunigter Bewegung<br />
a) Waagerechter Wurf (ohne Luftwiderstand)<br />
Ein Körper, z. B. eine Kugel, bewegt sich auf horizontaler<br />
Unterlage in x-Richtung mit konstanter<br />
Geschwindigkeit v0. Sobald die Kugel die Unterlage<br />
verlassen hat, unterliegt sie den Gesetzen des<br />
freien Falls. Der gleichförmigen Bewegung in<br />
x-Richtung überlagert sich eine gleichmäßig beschleunigte<br />
Bewegung in y-Richtung. Wie man<br />
später aus der Weggleichung sehen wird, ist die<br />
Wurfbahn eine Parabel.<br />
Man stellt nun die beiden Einzelbewegungen im<br />
v, t-Diagramm dar und liest daraus die Berechnungsgleichungen<br />
ab.<br />
Das v, t-Diagramm für die Horizontalbewegung<br />
des Körpers beim waagerechten Wurf ist das typische<br />
Diagramm für die gleichförmige Bewegung<br />
mit v0 ¼ vx ¼ konstant und dem Flächeninhalt<br />
Ax ¼b sx ¼ v0 tx.<br />
Das v, t-Diagramm für die Vertikalbewegung ist<br />
das typische Diagramm für den freien Fall ohne<br />
Luftwiderstand und ohne Anfangsgeschwindigkeit<br />
(vy ¼ 0). Auch hier kann die Weggleichung abgelesen<br />
werden: Ay ¼b h ¼ vytx=2.<br />
Damit stehen alle Gleichungen zur Verfügung, die<br />
für einen beliebigen speziellen Fall gebraucht werden.<br />
Es ist also nur eine Frage der mathematischen<br />
Geschicklichkeit, wie schnell eine Lösung gefunden<br />
wird. Zwei Ûbungen sollen den Weg zeigen.<br />
v0<br />
v<br />
A = s = v t<br />
x x 0 x<br />
0 tx<br />
t<br />
v<br />
g= vy<br />
tx<br />
vytx A y = h =<br />
2<br />
vy<br />
0 tx t<br />
sx ¼ v0 tx<br />
g ¼ vy<br />
tx<br />
h ¼ vytx<br />
2<br />
Weggleichung<br />
(Wurfweite)<br />
vy ¼ gtx Grundgleichung<br />
2 2<br />
vy gtx<br />
¼ ¼<br />
2g 2<br />
Weggleichungen<br />
(Fallhöhe)