Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

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4.1.9 Ûbungen zur zusammengesetzten Bewegung
4.1.9.1 Ûberlagerung von zwei gleichförmig geradlinigen Bewegungen
1. Ûbung: Der Laufkran in einer Gießerei fährt
mit der Geschwindigkeit v1 ¼ 120 m/min. Gleichzeitig
bewegt sich rechtwinklig zur Fahrtrichtung
die Laufkatze mit v2 ¼ 40 m/min.
Es soll die Geschwindigkeit der an der Laufkatze
hängenden Last und der Neigungswinkel a des
Lastweges zur Fahrtrichtung des Krans bestimmt
werden.
Lösung: Die beiden Geschwindigkeitsvektoren
stehen rechtwinklig aufeinander. Die gesuchte Geschwindigkeit
vr ist die Resultierende aus diesen
beiden Vektoren. Sie wird, wie bei den Kräften,
mit dem Lehrsatz des Pythagoras berechnet.
Aus dem Geschwindigkeitsdreieck erkennt man,
dass sich der Neigungswinkel a über die Tangensfunktion
bestimmen lässt.
2. Ûbung: Ein Boot überquert vom Punkt A aus
einen Fluss. Die Eigengeschwindigkeit des Bootes
beträgt v1 ¼ 30 km/h und liegt unter dem Winkel
a ¼ 30 zur Stromrichtung. Durch die Strömungsgeschwindigkeit
v2 ¼ 10 km/h wird das Boot aus
seiner Fahrtrichtung abgelenkt und erreicht das
gegenüberliegende Ufer im Punkt B.
Zu bestimmen sind:
a) die resultierende Geschwindigkeit vr des
Bootes,
b) der Winkel b,
c) die Strecke l2.
Lösung: Man skizziert das Geschwindigkeitsdreieck
aus v1, v2, vr und trägt die Winkel ein. Nach
dem Parallelogrammsatz muss die resultierende
Geschwindigkeit vr vom Anfangspunkt der zuerst
gezeichneten zum Endpunkt der zuletzt gezeichneten
Geschwindigkeit (hier v2) gerichtet sein. Ûber
den Kosinussatz berechnet man dann vr. Natürlich
kann auch die zeichnerische Lösung allein oder
zusätzlich angefertigt werden.
Lageskizze
vr ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
v1 2 þ v2 2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
p
¼ 120 m 2
þ 40
min
m
r
2
min
vr ¼ 126,491 m m
¼ 2,108
min s
a ¼ arctan v2
40
¼ arctan
v1
m
min
120 m ¼ 18,4
min
vr ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
v1 2 þ v2 2 p
2v1v2 cos a
vr ¼ 21,918 km
h
4 Dynamik
Lageskizze
Geschwindigkeitsskizze