Alfred Böge Technische Mechanik - PP99
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164 Abschließend wird die Gleichung auf die Normalform gebracht und nach h aufgelöst. Das ist die gesuchte Bestimmungsgleichung für die Turmhöhe h. Von den beiden berechneten Beträgen für die Turmhöhe kann nur h2 ¼ 119,7 m richtig sein, wie die Auswertung der Gleichung h ¼ vs Dts (3. Schritt) mit h1 ¼ 26017 m ergibt: Schallzeit Dts ¼ h1 ¼ vs 26 017 m 333 m s ¼ 78,1 s Bei dieser Turmhöheh1 wäre die Schallzeit Dts größer als die Gesamtzeit: Dts ¼ 78,1 s > Dt ¼ 5,3 s. Aufgaben Nr. 417–443 4.1.8 Zusammengesetzte Bewegungen 4.1.8.1 Kennzeichen der zusammengesetzten Bewegung Beim Kopieren eines Kegelstumpfes auf der Drehmaschine soll die Meißelspitze vom Anfangspunkt A zum Endpunkt E wandern. Der Drehmeißel wird dabei gleichzeitig vom Bettschlitten mit dem Längsvorschub sl und vom Planschlitten mit dem Planvorschub sp geradlinig bewegt. Zwei Einzelbewegungen „überlagern“ sich hier zu einer resultierenden (zusammengesetzten) Bewegung: Eine zusammengesetzte Bewegung entsteht durch Ûberlagerung von Einzelbewegungen. h ¼ g 2 Dt2 h 2 h 2vs 2 g 2 vs h1;2 ¼ 2 Dt h h2 þ vs vs 2 g Dt 1 þ vs þ vs 2 Dt 2 ¼ 0 g g Dt 1 þ vs ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi g Dt 1 þ 2 vs 2 Dt2 s vs 2 g h ¼ f ðDt, vs, gÞ h1 ¼ 26017 m h2 ¼ 119,7 m vs Zusammengesetzte Bewegung 4 Dynamik Die Einzelbewegungen können gleichförmig oder ungleichförmig sein; sie können in beliebiger Richtung zueinander verlaufen.
4.1 Allgemeine Bewegungslehre 165 4.1.8.2 Ûberlagerungsprinzip Theoretisch erreicht man den Endpunkt E der Meißelspitze auch, wenn man von A ausgehend zunächst den Längsvorschub allein laufen lässt, bis Punkt B erreicht ist, und dann anschließend mit dem Planvorschub bis E fährt. Auch in umgekehrter Reihenfolge wird das Ziel erreicht: Man findet den Ort eines Körperpunktes bei zusammengesetzter Bewegung, indem man die Einzelbewegungen gedanklich nacheinander ausführt. Die Reihenfolge ist beliebig. Das Ûberlagerungsprinzip wird in der Technik häufiger angewendet, wenn resultierende Wirkungen leichter ermittelt werden sollen. Ein markantes Beispiel ist die Berechnung der Durchbiegung eines Biegeträgers, der durch beliebig viele Kräfte belastet wird. Geometrische Addition von Wegen Zur Lösung von Aufgaben setzt man die für die Einzelbewegung gültigen Gesetze an (siehe waagerechter Wurf, Seite 167). Hinweis: Siehe auch: Festigkeitslehre, Abschnitt 5.9.10, die 5. Ûbung, Seite 350. 4.1.8.3 Zusammensetzen und Zerlegen von Wegen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen Soll ein Körper oder Körperpunkt von A nach E gelangen, dann kann diese Ortsveränderung auf verschiedene Weise ablaufen. Der kürzeste Weg wird durch den „Ortsvektor s“ gekennzeichnet. Aber auch mit den beiden rechtwinklig aufeinander stehenden Ortsvektoren sx, sy kommt man von A nach E, oder mit den beiden beliebig gerichteten Ortsvektoren s1, s2. Wie alle Vektoren sind auch die Ortsvektoren eindeutig bestimmt durch ihren Betrag (z. B. s ¼ 4 m), durch ihre Richtung (z. B. a ¼ 30 ) und durch den Richtungssinn (Pfeil zeigt von A nach E). Das Gleiche gilt für Geschwindigkeiten und Beschleunigungen: Wege (Wegabschnitte) s, Geschwindigkeiten v und Beschleunigungen a sind Vektoren (gerichtete Größen). Sie werden rechnerisch und zeichnerisch behandelt wie Kräfte, also geometrisch addiert. Geometrische Addition von Wegen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen Wie bei Kräften gilt der Parallelogrammsatz; Längs- und Parallelverschiebungssatz sowie Erweiterungssatz haben hier keinen Sinn (siehe Statik).
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4.1 Allgemeine Bewegungslehre 165<br />
4.1.8.2 Ûberlagerungsprinzip<br />
Theoretisch erreicht man den Endpunkt E der<br />
Meißelspitze auch, wenn man von A ausgehend<br />
zunächst den Längsvorschub allein laufen lässt,<br />
bis Punkt B erreicht ist, und dann anschließend mit<br />
dem Planvorschub bis E fährt. Auch in umgekehrter<br />
Reihenfolge wird das Ziel erreicht:<br />
Man findet den Ort eines Körperpunktes bei<br />
zusammengesetzter Bewegung, indem man die<br />
Einzelbewegungen gedanklich nacheinander<br />
ausführt. Die Reihenfolge ist beliebig.<br />
Das Ûberlagerungsprinzip wird in der Technik<br />
häufiger angewendet, wenn resultierende Wirkungen<br />
leichter ermittelt werden sollen. Ein markantes<br />
Beispiel ist die Berechnung der Durchbiegung<br />
eines Biegeträgers, der durch beliebig viele Kräfte<br />
belastet wird.<br />
Geometrische Addition von Wegen<br />
Zur Lösung von Aufgaben setzt man die für<br />
die Einzelbewegung gültigen Gesetze an<br />
(siehe waagerechter Wurf, Seite 167).<br />
Hinweis: Siehe auch: Festigkeitslehre,<br />
Abschnitt 5.9.10, die 5. Ûbung, Seite 350.<br />
4.1.8.3 Zusammensetzen und Zerlegen von Wegen, Geschwindigkeiten und<br />
Beschleunigungen<br />
Soll ein Körper oder Körperpunkt von A nach E<br />
gelangen, dann kann diese Ortsveränderung auf<br />
verschiedene Weise ablaufen. Der kürzeste Weg<br />
wird durch den „Ortsvektor s“ gekennzeichnet.<br />
Aber auch mit den beiden rechtwinklig aufeinander<br />
stehenden Ortsvektoren sx, sy kommt man von<br />
A nach E, oder mit den beiden beliebig gerichteten<br />
Ortsvektoren s1, s2. Wie alle Vektoren sind auch<br />
die Ortsvektoren eindeutig bestimmt durch ihren<br />
Betrag (z. B. s ¼ 4 m), durch ihre Richtung (z. B.<br />
a ¼ 30 ) und durch den Richtungssinn (Pfeil zeigt<br />
von A nach E). Das Gleiche gilt für Geschwindigkeiten<br />
und Beschleunigungen:<br />
Wege (Wegabschnitte) s, Geschwindigkeiten v<br />
und Beschleunigungen a sind Vektoren (gerichtete<br />
Größen). Sie werden rechnerisch und<br />
zeichnerisch behandelt wie Kräfte, also geometrisch<br />
addiert.<br />
Geometrische Addition von Wegen,<br />
Geschwindigkeiten und Beschleunigungen<br />
Wie bei Kräften gilt der Parallelogrammsatz;<br />
Längs- und Parallelverschiebungssatz sowie<br />
Erweiterungssatz haben hier keinen Sinn<br />
(siehe Statik).