Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

4.1 Allgemeine Bewegungslehre 163
4. Ûbung: Von einem Turm wird ein Stein fallen
gelassen. Der Aufschlag des Steines auf den
Boden wird oben nach Dt ¼ 5,3 s gehört. Die als
konstant angenommene Schallgeschwindigkeit in
der Luft beträgt vs ¼ 333 m/s.
Es soll eine Gleichung zur Bestimmung der Turmhöhe
h ¼ f ðDt; vs; gÞ entwickelt und damit h
berechnet werden.
Lösung: Man unterteilt die Gesamtzeit Dt vom
Fallbeginn bis zum Höreindruck in die Fallzeit Dtf
und die Schallzeit Dts. Während der Fallzeit Dtf ist
die v-Linie eine von 0 bis ve ansteigende Gerade
(freier Fall mit Aufschlaggeschwindigkeit ¼ Endgeschwindigkeit
ve). Da der Schall mit konstanter
Geschwindigkeit vs nach oben steigt, verläuft die
v-Linie während der Schallzeit Dts waagerecht
(gleichförmige Bewegung).
Stein und Schall müssen den gleichen Weg zurücklegen:
Turmhöheh ¼ Fallweg Dsf ¼ Schallweg Dss.
Im v, t-Diagramm muss demnach die Dreieckfläche
A1 gleich der Rechteckfläche A2 sein.
In den Nenner der Grundgleichung wird aus der
Bedingung Dt ¼ Dtf þ Dts ) Dtf ¼ Dt Dts eingesetzt.
Die Weggleichung für die Turmhöhe h findet man
aus der Dreieckfläche A1 ¼b ve Dtf=2 und der
Rechteckfläche A2 ¼b vs Dts. Beide Flächen sind
gleich groß.
Grund- und Weggleichung löst man nach der Endgeschwindigkeit
ve auf und setzt die gefundenen
Ausdrücke gleich. Aus der zweiten Weggleichung
(h ¼ vs Dts) setzt man für die Schallzeit
Dts ¼ h=vs und schreibt den Klammerausdruck
ðDt h=vsÞ 2 in der dreigliedrigen Form
Dt
h
vs
2
¼ Dt 2
2 Dt h
vs
þ h2
vs 2
Gegeben: a ¼ g ¼ 9,81 m
s2 vs ¼ 333 m
; Dt ¼ 5,3 s
s
Gesucht: h ¼ f ðDt; vs; gÞ
v
0
e f
v = gt Aufschlag
tf
t
A 1 = sf
a ¼ g ¼ Dv ve
¼
Dt Dtf
h ¼b A1 ¼ A2
h ¼ Dsf ¼ Dss
h ¼ ve Dtf
2 ¼ vs Dts
ts
Höreindruck
vs
A 2 = ss
ve
¼
Dt Dts
1. Schritt
t
2. Schritt
3. Schritt
4. Schritt
ve ¼ gðDt DtsÞ ¼ 2h 2h
¼
Dtf Dt Dts
2h
gðDt DtsÞ ¼
Dt Dts
h ¼ g
2 ðDt DtsÞ 2 für Dts ¼ h
eingesetzt:
vs
h ¼ g
2 Dt
2
h
vs