Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

4.1 Allgemeine Bewegungslehre 159
Gleichung (3) lässt sich mit dem Rechner leicht
auswerten, wenn vorher die Konstanten vs (Sinkgeschwindigkeit)
und ts berechnet wurden. Neu ist
die Hyperbelfunktion tanh (Tangens Hyperbolicus).
Aber man braucht den Hyperbelfunktionswert
nur genauso zu behandeln wie die Kreisfunktionswerte
sin, cos und tan. Der Taschenrechner hat
dazu die Taste „hyp“.
Mit Hilfe der höheren Mathematik kann aus Gleichung
(3) eine Gleichung für die vom fallenden
Körper zurückgelegte Wegstrecke sðtÞ entwickelt
werden (Gleichung (5)). Darin ist ln cosh der
natürliche Logarithmus der Hyperbelfunktion cosh.
Zum Abschluss der Untersuchungen des freien
Falls mit Luftwiderstand werden die Gleichungen
(3) und (5) ausgewertet und die Graphen vðtÞ und
sðtÞ konstruiert und diskutiert. Man rechnet mit
dem Taschenrechner oder schreibt ein einfaches
PC-Programm. Damit ist dann auch das Zeichnen
der Graphen möglich.
Kontrollwerte:
vð2Þ ¼17,04 m=s sð2Þ ¼18,3 m
vð4Þ ¼25,2 m=s sð4Þ ¼61,9 m
vð6Þ ¼27,77 m=s sð6Þ ¼115,4 m
Beispiel: Für einen Winkel von 30 sind mit
dem Taschenrechner die Funktionswerte tan
und tanh zu ermitteln.
Lösung: Man stellt den Rechner auf den
RAD-Modus ein (Bogenmaß).
Dann ergibt
tan ð30 p=180Þ ¼ 0,57735
tanh ð30 p=180Þ ¼0,48047
sðtÞ ¼vsts ln cosh t
Momentanwegstrecke
sðtÞ vs t, ts
m m
s
ts
(5)
Gegeben:
Zeitabschnitte t ¼ 0 ...10 s
Masse m ¼ 1kg
Luftwiderstandsbeiwert cw ¼ 0,2 (Kugel)
Luftdichte r L ¼ 1,19 kg/m 3
Projektionsfläche Ap ¼ 0,1 m 2
Fallbeschleunigung g ¼ 9,81 m/s 2
Das Diagramm enthält neben den Kurven vðtÞ und
sðtÞ auch den Graphen für den freien Fall im
Vakuum. Dieser Graph vðtÞ ¼g t ist eine ansteigende
Gerade (siehe Seite 154). Am Graphen vðtÞ
für den freien Fall unter Berücksichtigung des
Luftwiderstandes sieht man, dass mit der Zeit t
der Geschwindigkeitszuwachs laufend kleiner
wird, bis die stationäre Sinkgeschwindigkeit
vs ¼ 28,7 m/s erreicht ist.
Beim Graphen vðtÞ ¼g t dagegen bleibt der
Geschwindigkeitszuwachs konstant
Dv ¼ g ¼ 9,81 m=s 2 . Graphen vðtÞ und sðtÞ für den freien Fall
s