Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

158
4.1.6.3 Freier Fall mit Luftwiderstand
Auf den frei fallenden Körper wirkt die Gewichtskraft
FG lotrecht nach unten. Entgegengesetzt dazu
wirkt der Luftwiderstand Fw. Dadurch verringert
sich die Geschwindigkeitszunahme des Körpers
immer mehr, bis der Gleichgewichtszustand mit
Fw ¼ FG erreicht ist und die Geschwindigkeit
v ¼ konstant bleibt.
Der Körper hat dann die stationäre Sinkgeschwindigkeit
vs erreicht.
Mit Hilfe der Gleichgewichtsbetrachtungen nach
d’Alembert (siehe Seite 195) findet man eine Gleichung
für den momentanen Bewegungszustand
des fallenden Körpers im beliebigen Zeitpunkt (t).
Solange der Körper beschleunigt fällt (a > 0),
wirkt in Richtung des Luftwiderstandes Fw auch
die d’Alembert’sche Trägheitskraft T. Es gilt die
Gleichgewichtsbedingung SFy ¼ 0 unter Einschluss
der Trägheitskraft T ¼ ma.
Aus Gleichung (2) lässt sich über eine Differenzialgleichung
eine Berechnungsgleichung für den
Betrag der Momentangeschwindigkeit vðtÞ im
Zeitpunkt (t) entwickeln.
Mit dieser Gleichung (3) kann für beliebige Zeiten t
die Momentangeschwindigkeit vðtÞ berechnet werden.
Die in Gleichung (3) enthaltene stationäre
Sinkgeschwindigkeit vs hat man vorher mit Gleichung
(1) ermittelt.
Wie vs ist auch die Größe ts eine Konstante. Sie ist
abhängig von der Masse m, dem Luftwiderstandsbeiwert
cw, der Luftdichte r L , der Projektionsfläche
Ap und der Fallbeschleunigung g. Gleichung
(4) wurde nur zu dem Zweck aufgestellt, die Berechnung
von vðtÞ zu vereinfachen. Man bezeichnet
ts als Zeitkonstante, weil sie die Zeiteinheit
Sekunde hat, wie eine Einheitenprobe zeigt.
FG ¼ Fw
mg ¼ cwrLAp vs
2
2
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2mg
vs ¼
cwr L Ap
(1)
Stationäre Sinkgeschwindigkeit
vs m g r L Ap cw
m
s
Nach d’Alembert
freigemachter Körper
beim Fallen.
vðtÞ ist die Fallgeschwindigkeit
im Zeitpunkt (t).
SFy ¼ 0 ! T þ Fw FG ¼ 0; T ¼ ma
ma þ Fw mg ¼ 0j: m
a þ Fw
m
g ¼ 0
vðtÞ ¼vs tan h t
ts
(2)
(3)
Momentangeschwindigkeit
ts ¼
kg m
s 2
kg
m 3
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2m
cw rL Ap g
m 2 1
ts m cw r L Ap g
s kg 1
kg
m 3
(4) Zeitkonstante
m 2
4 Dynamik
vðtÞ, vs t, ts
m
s 2
Beachte: Bei der Auswertung der Gleichungen
(3) und (5) wird vorausgesetzt, dass die
Luftdichte r L und die Fallbeschleunigung g
während des Bewegungsablaufs konstant
bleiben.
m
s
s