Alfred Böge Technische Mechanik - PP99

4.1 Allgemeine Bewegungslehre 153
4.1.5 Arbeitsplan zur gleichmäßig beschleunigten oder verzögerten Bewegung
v; t-Diagramm aufzeichnen
Man muss sich klar sein, ob die Bewegung
beschleunigt (ansteigende v-Linie) oder verzögert
ist (fallende v-Linie), und ob die Bewegung aus
dem Ruhezustand heraus erfolgt oder bis zur
Ruhestellung verläuft. Danach skizziert man das
v, t-Diagramm (unmaßstäblich).
Als Beispiel betrachtet man eine gleichmäßig beschleunigte
Bewegung mit der Anfangsgeschwindigkeit
(v0 6¼ 0).
Grundgleichung aufstellen
Ausgangsgleichung ist immer die Definitionsgleichung
für die Beschleunigung a ¼ Dv=Dt.
Auch die erweiterte Form mit den speziellen Bezeichnungen
aus dem v, t-Diagramm wird aufgeschrieben:
hier also mit Dv ¼ vt v0.
Weggleichungen aufstellen
Man weiß, dass die Fläche A unter der v-Linie
dem Wegabschnitt Ds entspricht. Je nach Flächenform
(hier Trapez) entwickelt man mit den eingetragenen
Bezeichnungen Gleichungen für Ds,
zunächst ohne Rücksicht darauf, ob für die spezielle
Aufgabenstellung alle Gleichungen gebraucht
werden: In der Praxis muss man häufig
alle Größen der Bewegung bestimmen.
Gleichungen auswerten
Grundgleichung und Weggleichungen bilden ein
Gleichungssystem mit mehreren Unbekannten. In
der Regel werden zwei Unbekannte gesucht. Es
genügen dann meistens die Grundgleichung und
eine der Weggleichungen zur Lösung.
Hier nimmt man an, es sei Dt ¼ f ðv0, a, DsÞ 1) gesucht,
also v0, a, Ds gegeben und der Zeitabschnitt
Dt die gesuchte Größe. Benutzt man die Gleichsetzungsmethode,
kann man sowohl die Grundgleichung
als auch die erste Weggleichung nach vt
auflösen, beide Gleichungen gleichsetzen und auf
gewohnte Weise weiterentwickeln. Als Ergebnis
erhält man eine gemischt-quadratische Gleichung.
v
v0
v
0
v-Linie
v 0 + vt
A= s=
2
t
a ¼ Dv
Dt ¼ vt v0
Dt
t
vt
Ds ¼ v0 þ vt
Dt (Trapezfläche)
2
Dv Dt
Ds ¼ v0 Dt þ ; Dv ¼ vt v0
2
(Rechteckfläche þ Dreieckfläche)
Ds ¼ vt Dt
Dv Dt
; Dv ¼ vt
2
v0
(Rechteckfläche Dreieckfläche)
1. Schritt
t
2. Schritt
3. Schritt
4. Schritt
a ¼ vt v0
Dt ) vt ¼ v0 þ a Dt (Grundgleichung)
Ds ¼ v0 þ vt
2 Dt ) vt ¼
2 Ds
Dt
(erste Weggleichung)
2 Ds
v0 þ a Dt ¼
Dt
v0
ðDtÞ 2 þ 2v0
a Dt
2Ds
¼ 0
a
Dt1;2 ¼ v0
a
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
v0
2 2 Ds
þ
a a
Dt ¼ f ðv0, a, DsÞ 1)
1) Die Schreibweise Dt ¼ f ðv0, a, DsÞ heißt: Dt ist eine Funktion von v0, a, Ds ðist abhängig von v0, a, DsÞ
v0